Estadística matemática con aplicaciones 5.65

5.65)

Intentaremos resolver la integral de la función marginal, para ello efectuaremos el producto

$$\begin{align}&f_1(y_1)=\int_0^{+\infty} [1-\alpha(1-2e^{y_1})(1-2e^{y_2})]e^{-y_1-y_2}dy_2=\\ &\\ &\int_0^{+\infty}[(1-\alpha(1-2e^{-y_1})+\alpha(1-2e^{-y_1})2e^{-y_2}] e^{-y_1-y_2}dy_2=\\ &\\ &\\ &[(-1+\alpha(1-2e^{-y_1}))e^{-y_1-y_2})]_0^{+\infty}+\\ &+\alpha(1-2e^{-y_1})\int_0^{+\infty}2e^{-y_1-2y_2}dy_2 =\\ &\\ &\\ &1-\alpha (1-2e^{-y_1})e^{-y_1}-\alpha(1-2e^{-y_1})[e^{-y_1-2y_2}]_0^{+\infty}=\\ &\\ &[1-\alpha (1-2e^{-y_1})]e^{-y_1}+\alpha(1-2e^{-y_1})e^{-y_1}=\\ &\\ &\\ &e^{-y_1}; \;\;\forall \;y_1>=0,\;\text{ 0 en el resto}\end{align}$$

Y eso es precisamente una exponencial de media 1 porque la exponencial se define como

$$\begin{align}&f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\\ &\\ &\text{donde se cumple }\;\mu=\frac{1}{\lambda}\\ &\\ &\text{la que nos ha salido tiene } \lambda=1 \implies \mu=1\end{align}$$

b) No hay ninguna diferencia entre Y1 e Y2, queda la misma función de densidad cambiando los papeles y los límites de integración quedan también igual. luego:

$$f_2(y_2)=e^{-y_2}; \;\;\forall \;y_2>=0,\;\text{ 0 en el resto}$$

c) Ya hemos demostrado que

$$f_1(y_1)f_2(y_2)= e^{-y_1}e^{-y_2}= e^{-y_1-y_2}; \;\forall\;y_1,y_2\ge0$$

Y1 e Y2 serán independientes si y solo si esto es igual a f(y1,y2) para todos los valores de y1,y2. Y si miramos la extensa definición de f(y1,y2) vemos que eso solo se cumple de forma global si y solo si alfa=0

Y eso es todo.