Procedimiento de integral definida
Estoy revisando un procedimiento de integración. En la parte que marco con color,podrás observar que aparece una "x" elevada a la tercera potencia. En el siguiente paso, se observa que esa "x" fué sustituida por [(u^2)-2] elevado a la 3.
No encuentro la forma en la que obtuvieron esa sustitución.........¿me puedes ayudar?.......
Gracias.
1 Respuesta
Lo primero que me llama la atención es la cantidad de operaciones que han hecho para calcular dx. El siguiente paso es inmediato:
$$du=\frac{1}{2 \sqrt{x+2}}dx\implies dx=2 \sqrt{x+2}du$$A mi me enseñaron que cuando se hacía el cambio se hacían antes todos los preparativos para efectuarlo de una vez. Aquí no lo han hecho, después del cambio han dejado todavía el x^3 de la variable antigua, pero tienen que dejarlo todo en función de u, por eso tienen que sustituir x^3 por su función de u.
$$\begin{align}&\text{Como el cambio era}\\ &\\ &u = \sqrt{x+2}\\ &\\ &\text{vamos a poner x en función de u}\\ &\text{ elevamos al cuadrado}\\ &\\ &u^2 = x+2\\ &\\ &x = u^2 - 2\\ &\\ &\text{por lo cual}\\ &\\ &x^3 = (u^2-2)^3\end{align}$$Y eso se tiene que sustituir por el x^3 de la integral. Y lo han hecho al final.
