Sesgo y error cuadrático medio de estimadores puntuales. 10

8.10)

a) Puesto que la media de una distribución de Poisson es el parámetro lambda, un estimador insesgado para lambda es la media de la muestra Y1, Y2, ..., Yn

E(estimador) = E[(Y1+Y2+...+Yn)/n] = [E(Y1)+ E(Y2) + ...+E(Yn)]/n = n·lambda/n = lambda

Luego es insesgado.

b) C=3Y+Y^2

E(C) = 3E(Y) + E(Y^2) = 3lambda+ E(Y^2)

Sabemos que

V(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2

E(Y^2) = V(Y)+[E(Y)]^2

La Varianza de una distribución de Poisson también es lambda

E(Y^2) = lambda + (lambda)^2

luego

E(C) = 3lambda + lambda + (lambda)^2 = 4lambda + (lambda)^2

que es justamente lo que pedían.

c)

Calculamos la esperanza de la media al cuadrado:

$$\begin{align}&E(\overline{Y}^{\,2}) =\frac{E[(Y_1+ Y_2+...+Y_n)^2]}{n^2}=\\ &\\ &\frac{E(Y_1^2)+E(Y_2^2)+...+E(Y_n^2)+\sum_{i \ne j}E(Y_iY_j)}{n^2}=\\ &\\ &\text{Como las }Y_i \text {son independientes }E(Y_iY_j)=E(Y_i)E(Y_j)=\lambda^2\\ &\\ &\frac{n(\lambda +\lambda^2)+2\binom{n}{2}\lambda^2}{n^2}=\\ &\\ &\frac{n(\lambda+\lambda^2)+n(n-1)\lambda^2}{n^2}=\\ &\\ &\frac{\lambda+\lambda^2+(n-1)\lambda^2}{n}=\frac{\lambda+n\lambda^2}{n} = \frac{\lambda}{n}+ \lambda^2\end{align}$$

Vamos a construir una función de la media y la media al cuadrado tal que se esperanza sea la esperanza de C, como ya sabemos las esperanzas de la medía y la media al cuadrado, haremos una función que sea combinación lineal de ellas y será fácil ajustar la esperanza de esa función

$$\begin{align}&f(Y_1,...,Y_n) = \overline{Y}^2 - \frac{\overline{Y}}{n}+4\overline{Y}\\ &\\ &E[f(Y_i)]=\lambda^2+\frac {\lambda}{n}-{\lambda}{n}+4\lambda = \lambda^2+4\lambda=E(C)\end{align}$$

Luego f cumple lo que piden.

Y eso es todo.