Demostrar por inducción

Supongo que se podrá demostrar por inducción
Para n= tenemos 1^3 = 1^2 luego se cumple
Ahora supongamos que se cumple para n
1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 = (1 + 2 + 3 + …+n)^2
veamos que se cumple para n+1
1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 + (n+1)^3= (1 + 2 + 3 + …+n)^2 + (n+1)^3 =
(1 + 2 + 3 + …+n)^2 + (n+1)(n+1)^2 =
(1 + 2 + 3 + …+n)^2 + n(n+1)^2 + (n+1)^2

Ahora demostremos aparte que
n(n+1)^2 = 2(1+2+3+...+n)(n+1)
n(n+1) = 2(1+2+3+... +n)
n(n+1)/2 = 1+2+3+...+n
Lo cual es cierto porque es la fórmula de la suma de los n primeros elementos de una sucesión aritmética.
Entonces tenemos
1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 + (n+1)^3 =
(1 + 2 + 3 + …+n)^2 + 2(1+2+3+...+n)(n+1) + (n+1)^2 =
esto es la formula de un cuadrado perfecto
= [(1+2+3 +...n)+ (n+1)]^2
Luego la fórmula es valida para n+1 y queda demostrada la inducción.