Estadística matemática con aplicaciones 5.31

5.31)

Vamos a calcular la densidad marginal de Y1. Creo que en un ejercicio de los últimos que mandaste hice el gráfico del dominio de da la función.

Si, era el ejercicio 5.57

a)

$$\begin{align}&f_1(y_1)=\int_{-1+y_1}^{1-y_1}30y_1y_2^2dy_2 =\\ &\\ &\\ &10y_1\left[y_2^3  \right]_{-1+y_1}^{1-y_1}=10y_1[(1-y_1)^3-(y_1-1)^3]=\\ &\\ &\\ &20y_1(1-y_1)^3\\ &\end{align}$$

Recuerdo que por los exponentes de y1 y (1-y1) puede ser una beta(2,4), pero voy a buscar la definición de la beta para confirmarlo seguro, esta en la página 194

$$\begin{align}&f(y)=\frac{y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\\ &\\ &\text{donde}\\ &\\ &B(\alpha,\beta)=\int_0^1y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1}dy=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\end{align}$$

Los exponentes coinciden, ahora calcularemos el valor de esa función B(alfa,beta)

Gamma(2) = 1! = 1

Gamma(4) = 3! = 6

Gamma(6) = 5! = 120

B(alfa, beta) = 1·6 / 120 = 1/20

Y el 20 sube al numerador y da justamente la función de densidad que habíamos calculado, luego es una Beta(2,4)

b)

$$\begin{align}&f_2(y_2)=\int_0^{1-|y_2|}30y_1y_2^2dy_1=\\ &\\ &\\ &15y_2^2\left[ y_1^2 \right]_0^{1-|y_2|}= 15y_2^2(1-|y_2|)^2 \\ &\end{align}$$

Con esto corrijo el ejercicio 5.57 donde puse

$$f_2(y_2)=15y_2^2(1-y_2)^2$$

c)

$$\begin{align}&f(y_2|y_1)=\frac{f(y_1,y_2)}{f_1(y_1)}=\\ &\\ &\\ &\frac{30y_1y_2^2}{20y_1(1-y_1)^3}=\frac{3y_2^2}{2(1-y_1)^3}\end{align}$$

d)

$$\begin{align}&P(Y_2 \gt 0 | Y_1=0.75)=\int_0^{0.25}\frac{3y_2^2dy_2}{2(0.25)^3}=\\ &\\ &\left[\frac{y_2^3}{0.03125}  \right]_0^{0.25} =\frac{0.015625}{0.03125}=\frac 12\end{align}$$

Y eso es todo.