Álgebra de Conjunto
Si A y B son conjunto finitos entonces |A| denota el número de elementos en A. RECORDEMOS que la siguiente fórmula es válida |A u B| = |A| + |B| - |A intersección B|.
Demuestre que |A u B| <= |A| + |B|. A partir dr esta desigualdad demuestre que si A es infinito y A = B u C, entonces al menos uno de los conjuntos B o C debe ser infinito.
1 Respuesta
Los cardinales de un conjunto son no negativos, solo valen 0 para el conjunto vacío y cualquier otro conjunto tiene cardinal positivo
Entonces si tenemos
|A U B| = |A| + |B| - |A n B|
Si en el segundo miembro sumamos el elemento no negativo |A n B| el segundo miembro será mayor o igual que antes y por lo tanto mayor o igual que el primer miembro
|A U B| <= |A| + |B| - |A n B| + |A n B| = |A| + |B|
luego resumiendo
|A U B| <= |A| + |B|
Si A es infinito su cardinal es infinito
|A| = |B U C| = oo
|B| + |C| >= |B U C| =oo
Si los cardinales de B y C fueran finitos su suma sería finita, por ejemplo
|B|=n
|C|=m
|B| + |C| = n+m = k € N
Con lo cual esa cantidad no puede ser infinita y no se cumple lo de arriba. Asi que no pueden ser los dos finitos, uno de los dos al menos debe ser infinito.
Y eso es todo.
