Ayuda con algo de álgebra
$$sean \,\, a,b,c,d \in \mathbb{Z}$$demostrar:
a) -a > -b si a > b
b) a+c < b+d si a < b y c < d
c) si a < b+c entonces a-b < c
d) a-b = c-d si, y solo si a+d = b+c
utilizando clases de equivalencia.
$$\mathbb{Z}^+=\{[s,m]:[s,m]\in g, s>m\}$$$$\mathbb{Z}^-=\{[s,m]:[s,m]\in g, s<m\}$$g = {[s,m], [t,n].........}
la suma se define
a+b = [s,m] + [t,n] = [(s+t) , (m+n)]
la multiplicacion
a*b = [s,m] * [t,n] = [(st + mn) , (sn + mt)]
el negativo es
a = [s,m] y -a = [m,s]
a-b = a+(-b)= [s,m] + [n,t]
1 Respuesta
El enunciado a es falso debe estar mal escrito.
El b está mal expresado creo que debe ser
si a < b y c < d entonces a+c < b+d
Nunca pongamos delante el consecuente del antecedente causa equivocaciones innecesarias
Espero las correcciones y ten un poco de paciencia, ahora tengo varias preguntas pendientes y este tema es nuevo para mí.
una disculpa por los errores
a) -a > -b si a < b
y el b) asi esta en el libro que estoy llevando, mira el libro es Ayres Frank - Álgebra moderna
en el capitulo 4 en la parte de problemas propuestos por si quieres mirarlos
Si, ya lo había visto porque ese tipo de teoría solo lo he visto en ese libro y supuse que estaría este problema. Lo que pasa es que no he podido ponerme antes con el problema.
Pues debo decirte que seguramente el traductor ha metido la pata. En Lógica y matemáticas no se pueden cambiar el orden de las palabras como se haría en literatura se pueden producir enunciados con significado distinto.
Esta claro que al autor original quería decir
Si a < b entonces -a>-b
y
si a < b y c < d entonces a+c < b+d
Con el primero no habría problema porque las proposiciones son equivalentes, pero con el segundo son enunciados distintos.
Esta bien claro que (y luego lo vamos a demostrar) que
si a < b y c < d entonces a+c < b+d
pero el enunciado de la traducción es falso
a+c < b+d si a < b y c < d
1+5 < 3+4 pero 5 no es menor que 4
Asi que el traductor se podría haber dejado de inventar nuevas formas de expresar lo que se tiene que expresar siempre de la misma forma aunque sea monótono.
Dicho esto resolveré los ejercicios con la traducción que yo creo tendría que ser, ya has visto que el b sería falso con la traducción que han puesto.
La relación de orden dada por las clase de equivalencia es
Si a <--> [s, m] y b <--> [t, n] entonces
a<b si y solo si (s+n) < (t+m)
a>b si y solo si (s+n) > (t+m)
El libro se preocupa de relacionar las clases con los números enteros pero se ha olvidado definir la relación de orden dentro de las clases
[s, m] < [t, n] <==> (s+n) < (t+m)
a) Si a < b entonces -a >-b
a<b <==> [s, m] < [t, n] <==> (s+n) < (t+m) <==> (n+s) < (m+t) <==>
[n, t] < [m,s] <==> -b < -a <==> -a > -b
Ya está demostrado. Tal vez el paso (n+s) < (m+t) <==> [n, t] < [m,s] sea lioso. Para salir del lío debes fijarte en la definición [s, m] < [t, n] <==> (s+n) < (t+m) para ver que primera y tercera quedan fijas (la s y la t) y segunda y cuarta se intercambian (la m y la n)
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b) si a<b y c<d entonces (a+c)<(b+d)
Aquí vamos a usar otra notación
a <--> [a1, a2]
b <--> [b1, b2]
c <--> [c1, c2]
d <--> [d1, d2]
por hipótesis
a<b <==> [a1, a2] < [b1, b2] <==> (a1+b2) < (b1+a2)
c<d <==> [c1, c2] < [d1, d2] <==> (c1+d2) < (d1+c2)
La relación de orden en N esta dada por
m <n si y solo si existe algún p €N tal que m+p=n
Existe p tal que a1+b2 + p = b1 + a2
existe q tal que c1+d2 + q = d1+ c2
luego
a1+b2+c1+d2 + p + q = b1+a2+d1+c2
Existe r = p+q tal que los cuatro primeros de la izquierda más r valen lo de la derecha, luego
a1+b2+c1+d2 < b1+a2+d1+c2 <==>
a1+c1 + b2+d2 < b1+d1 + a2+c2 <==>
[a1+c1, a2+c2] < [b1+d1, b2+d2] <==>
([a1,a2] + [c1,c2]) < ([b1,b2]+[d1,d2]) <==>
(a+c) < (b+d)
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c) si a < (b+c) entonces (a-b) < c
[a1, a2] < ([b1, b2] + [c1, c2]) <==>
[a1, a2] < [b1+c1, b2+c2] <==>
(a1+b2+c2) < (b1+c1+a2) <==>
((a1+b2) + c2) < (c1+ (a2+b1)) <==>
[a1+b2, a2+b1] < [c1, c2] <==>
[a1, a2] + [b2,b1] < [c1.c2] <==>
a + (-b) < c <==>
a - c < c
d) d) a-b = c-d si, y solo si a+d = b+c
Vamos con ello
a-b = c-d <==> a+(-b) = c+(-d) <==>
[a1, a2]+[b2,b1] = [c1,c2]+[d2,d1] <==>
[a1+b2, a2+b1] = [c1+d2, c2+d1] <==>
(a1+b2, a2+b1) ~ (c1+d2, c2+d1) <==>
(a1+b2 + c2+d1) = (c1+d2+a2+b1) <==>
(a1+d1 + b2+c2) = (b1+c1 + a2+d2) <==>
(a1+d1, a2+d2) ~ (b1+c1, b2+c2) <==>
[a1+d1, a2+d2} = [b1+c1, b2+c2] <==>
[a1,a2] + [d1,d2] = [b1,b2] + [c1,c2] <==>
a+d = b+c
La demostración es completa porque todas las implicaciones eran de ida y vuelta.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Por favor, aunque esto sea un solo ejercicio del libro eran cuatro en realidad, otra vez utiliza más preguntas.
