Ayuda con esta integral.

$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{1-x}}{1-\sqrt x} dx=\\ &\\ &\int \frac{(1+\sqrt x)\sqrt{1-x}}{(1+\sqrt x)(1-\sqrt x)} dx=\\ &\\ &\int{\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt x \sqrt{1-x}}{1-x}}dx=\\ &\\ &\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}+ \int \frac{\sqrt x}{\sqrt{1-x}}dx=\\ &\\ &-2 \sqrt{1-x}+\int \frac{\sqrt x}{\sqrt{1-x}}dx=\\ &\\ &x=t^2\implies  \quad dx = 2tdt\\ &\\ &=-2 \sqrt{1-x}+2\int \frac{t^2\;dt}{\sqrt{1-t^2}}=\\ &\\ &-2 \sqrt{1-x}+2\int \frac{t^2-1+1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\\ &\\ &-2 \sqrt{1-x}+2\int \frac{t^2-1}{\sqrt{1-t^2}}dt+2\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\\ &\\ &-2 \sqrt{1-x}-2\int \frac{1-t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt+2arcsen\, t =\\ &\\ &-2 \sqrt{1-x}+2 arcsen \sqrt x-2\int \sqrt{1-t^2} dt=\\ &\\ &t=senz\implies dt=coszdz\\ &\\ &2[arcsen (\sqrt x)-\sqrt{1-x}]-2\int \sqrt{1-sen^2z}\;·cosz\; dz=\\ &\\ &2[arcsen (\sqrt x)-\sqrt{1-x}]-2\int \cos^2z dz=\\ &\\ &2[arcsen (\sqrt x)-\sqrt{1-x}]-\int(1+\cos 2z)dz=\\ &\\ &2[arcsen (\sqrt x)-\sqrt{1-x}]-z-\frac{sen 2z}{2}+C=\\ &\\ &2[arcsen (\sqrt x)-\sqrt{1-x}]-arcsen t -senz·cosz+C=\\ &\\ &2[arcsen (\sqrt x)-\sqrt{1-x}]-arcsen(\sqrt x)-t \sqrt{1-t^2}+C=\\ &\\ &arcsen(\sqrt x)-2 \sqrt{1-x}- \sqrt x \sqrt{1-x}+C=\\ &\\ &arcsen(\sqrt x)- \sqrt{1-x}(2+\sqrt x)+ C\\ &\end{align}$$

Y eso es todo, he tenido que usar algunas fórmulas trigonométricas que no he explicado porque el ordenador se vuelve torpe cuando se le mete tanta cantidad de código látex como le he metido y no se puede encima poner comentarios, más bien lo que se hace es simplificar pasos. Si te has perdido en alguno dímelo.