Integral de Riemann-Stieltjes

Es curioso lo que cambian las cosas por poner el sufijo Stieltjes. Yo estudié lo de Riemann lo de el segundo señor no, ni lo conocía. Pero bueno, tampoco es una cosa para quitar el sueño, en vez de multiplicar por la diferencial de una variable independiente multiplica por la diferencial de una función. Simplemente se aplica la regla de la cadena y llegamos a una integral normal

d(senx) = cosx·dx

luego

$$\begin{align}&\int_0^\pi \cos x\; d(senx)=\\ &\\ &\int_0^\pi cosx·cosx\;dx=\\ &\\ &\int_0^\pi \cos^2x\;dx=\\ &\\ &\int_0^\pi \frac{1+\cos 2x}{2}dx=\\ &\\ &\left[\frac x2+\frac{sen 2x}{4}  \right]_0^\pi=\\ &\\ &\frac{\pi}{2}+0-0-0 = \frac \pi 2\end{align}$$

Y eso es todo.