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El arco entre los ángulos a y b de una función en coordenadas polares r=f(theta) es
$$\begin{align}&s = \int_a^b \sqrt{[f(\theta)]^2+[f'(\theta)]^2}\;d\theta\\ &\\ &\\ &s = \int_0^{2\pi} \sqrt{(1+sen \theta)^2+\cos^2\theta}\;d\theta=\\ &\\ &\\ &\int_0^{2\pi} \sqrt{1+2sen\theta +sen^2\theta+\cos^2\theta}\;d\theta=\\ &\\ &\\ &\int_0^{2\pi} \sqrt{2+2sen\theta}\;d\theta=\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Pues esa integral no es sencilla ni mucho menos, a no ser que os hayan enseñado algún método especial no está al alcance de un estudiante normal.
No sé, dime algo. Si acaso la resuelvo pero tendrá que ser con ayuda del ordenador. Si hay que calcular la primitiva de esa función yo no sé hacerla.
Espera, que es muy fácil.
Sencilla pero no tanto, podrían habernos mandado hacer la de 1+cos(theta) que es sale más directa.
$$\begin{align}&\int_0^{2\pi}\sqrt{2+2sen\theta}\;d\theta=\\ &\\ &\theta= \frac{\pi}{2}-t\quad\quad d\theta =-dt\\ &\\ & sen\theta=sen\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=cost\\ &\\ & \theta=0\implies t =\frac{\pi}{2}\\ &\\ &\theta=2\pi\implies t =\frac{5\pi}{2}\\ &\\ &\\ & =\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\sqrt{2+2cost}\;dt =\\ &\\ &\\ &\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\sqrt{\frac{4+4cost}{2}}\;dt =\\ &\\ &2\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\sqrt{\frac{1+cost}{2}}\;dt =\\ &\\ &2\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\sqrt{\cos^2 \left(\frac t2\right)}\;dt=\\ &\\ &\\ &2\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\left|\cos \left(\frac t2\right)\right|\;dt=\\ &\\ &-2\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\cos \left(\frac t2\right)\;dt+2\int_{3\pi/2}^{5\pi/2}\cos \left(\frac t2\right)\;dt=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &-\left.2·2sen\left(\frac t2\right)\right|_{\pi/2}^{3\pi/2}+\left.2·2sen\left(\frac t2\right)\right|_{3\pi/2}^{5\pi/2}=\\ &\\ &-2(-1-1)+2(1+1) = 4+4=8\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. A lo mejor te ha liado al final lo del valor absoluto. Eso ha sido por no precaver al principio que las funciones seno y coseno valen lo mismo en un anguló 2Pi superior y este tipo de integrales da un falso 0 si no se emplea el valor absoluto donde es necesario. La forma de hacerlo sin valor absoluto es tomar la mitad del arco de forma que la otra mitas sea simétrica y multiplicar por 2 el resultado. Tratándose de la función coseno habríamos calculado la integral entre -pi/2 y pi/2 y habríamos multiplicado por 2. Pero así has aprendido algo si no lo sabías ya y es que de dentro de las raíces cuadradas no se puede extraer alegremente un función, hay que extraer el valor absoluto de la función.
