Esta es la otra integral que le pido me ayude a resolverla

Es una de las integrales binomias.

En la literatura que hay sobre ellas se escribe así:

$x^3(1+x^2)^(-1/2)dx
Y para su discusión se escriben así:
$x^m(a+bx^n)^p dx
La teoría dice que se pueden resolver en estos tres casos y en lkos demás no.
1) si p es entero
2) si (m+1)/n es entero
3) si p+(m+1)/n es entero
Nuestro caso no es el 1 porque p = -1/2 no es entero
Pero si es el dos porque m+1/n = 3+1/2 = 4/2 = 2
Y la teoría dice que este caso se resuelve así:
Primero hacemos el cambio x = z^(1/n) que en nuestro cso será
x = z^(1/2)
dx = (1/2)z^(-1/2)dz
(1/2)$z^(3/2)·(1+z)^(-1/2)· z^(-1/2) dz =
(1/2)$z(1+z)^(-1/2)dz
Y segundo, si p = r/s se hace el cambio a+bz = t^s
En nuestro caso
1+z = t^2
dz = 2tdt
(1/2)$(t^2-1)·(t^2)^(-1/2)·2tdt =
$(t^2-1)(1/t)t dt=
$(t^2-1)dt =
(t^3)/3 - t + C
Y ahora a deshacer los cambios
Como t = (1+z)^(1/2) y z = x^2 tenemos t = (1+x^2)^(1/2) 
y el resultado es:
(1/3)(1+x^2)^(3/2) - (1+x^2)^(1/2) + C
Bueno todo eso ha sido aplicando la teoría que está muy bien 
para casos más complicados, pero en este podríamos haber obrado
directamente con el cambio
$(x^3)dx/sqrt(1+x^2) = donde sqrt es la raíz cuadrada
Hacemos el cambio
t = sqrt(1+x^2)
dt = xdx/sqrt(1+x^2)
Vemos que el dt es casi todo lo que teníamos salvo un x^2 que queda.   
Y ese x^2 se despeja fácilmente elevando al cuadrado el cambio
que hemos hecho x^2 = t^2 - 1
Y con esto queda
$(t^2-1)dt = (t^3)/3 - t + C = 
(1/3)(1+x^2)^(3/2) - (1+x^2)^(1/2) + C

 Y eso es todo.