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El plano tangente en un punto (xo, yo) tiene esta ecuación
$$\begin{align}&z=f(x_0,y_0)+\left[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \right](x-x_0)+\left[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \right](y-x_0)\\ &\\ &\\ &\text{ calculamos las derivadas parciales} en(3,1,10)\\ &\\ &f(x,y)=x^2+y^3\\ &\\ &\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\implies \frac{\partial f}{\partial x}(3,1)=6\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= 3y^2\implies \frac{\partial f}{\partial y}(3,1)=3\\ &\\ &\text {y la ecuación del plano será}\\ &\\ &z =10+6(x-3)+3(y-1)\\ &\\ &z = 10 + 6x -18 + 3y -3\\ &\\ &z=6x+3y -11\\ &\\ &\text{o en la forma más estándar}\\ &\\ &6x+3y-z-11=0\end{align}$$Y eso es todo.
valeroasm podrías decirme como se obtiene o de donde sale la ecuación del plano tangente. quiero saber analítica y gráficamente, si es posible, de donde proviene y que análisis hay que hacer.
Eso lo tendrás en la teoría supongo.
Asi como la recta tangente a un función de una variable surge de la pendiente que nos proporciona la derivada y del hecho de pasar por (xo, f(xo)) dándonos la ecuación de la recta tangente
(x-xo) / 1 = (y-yo) / f'(xo)
y - yo = f'(xo)(x-xo)
y = yo + f'(xo)(x-xo)
Con una función de dos variables tenemos una superficie en el espacio y lo que le es tangente es un plano. Para definir un plano se necesitan dos vectores del plano y un punto del mismo.
El punto es (xo,yo, zo) = (xo, yo, f(xo,yo))
Y los dos vectores son
(1, 0, fx(xo,yo)) , (0,1, fy(xo,yo))
Nótese que he usado la forma alternativa de denotar las derivadas parciales, mucho más entendible cuando se escribe en una sola línea. Esos son los vectores en el espacio de las derivadas direccionales en el eje x y y, que son las derivadas parciales
Y ahora se usa la teoría de álgebra sobre ecuaciones de planos
| x-xo y-yo z-f(xo,yo) | | 1 0 fx(xo,yo) | = 0 | 0 1 fy(xo,yo) |
z - f(xo,yo) - fy(xo,yo)(y-yo) - fx(xo,yo)(x-xo) = 0
z = f(xo,yo) + fy(xo,yo)(y-yo) + fx(xo,yo)(x-xo)
Que es la fórmula de arriba salvo que aquí a la parcial respecto a x la llamamos fx y a la parcial respecto a y la llamamos fy.
Y eso es todo.
