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Yo no sé de que axiomas parten para hacer estas demostraciones, sería bueno conocer el libro. Es que puede que estemos con el tema de los números reales definidos como límites de sucesiones racionales y cambia todo.
A falta de libro la demostración es muy simple.
a^M es el número a multiplicado consigo mismo m veces
a^N es el numero a multiplicado consigo mismo n veces
Luego a^m·a^n es el número a multiplicado consigo mismo m+n veces
Y a^(m+n) es el número a multiplicado consigo mismo m+n veces
Luego a^m·a^n = a^(m+n)
Y eso es todo.
son del libro introducción al análisis matemático de una variable de bartle
Lo he encontrado en la sección 2.1, ejercicio 26. Ahí dice que se demuestre por inducción, Pues vamos a hacerlo así,
Usaremos el principio de inducción fuerte 1.2.5.
Si se cumplen estas dos condiciones
1) 1 € S
2) para toda k € N, si {1,2,3,...,k} € S entonces k+1 € S
entonces S=N
En realidad no comenzaremos con el 1 sino con el 2 ya que al ser m y n naturales su suma mínima es 2. La inducción será sobr el valor m+n
Si m+n=2
a^1 · a ^1 = a^2
a^(1+1) a^2
luego para m+n=2 se cumple
Ahora supongamos que se cumple para todos los valores de m+n hasta k con k>2
ahora sean i, j tales i+j = k+1
Si i =1 ==> j =k
a^i·a^j = a^1· a^k = a^(1+k) Esto es por definicion de potencia
Si j =1 ==> i =k
a^i·a^j = a^k·a^1 = a^(k+1) de nuevo por definición
Si ambos son mayores de 1
a^i·a^j = a^1 · a^(i-1) · a^j=
Ahora ya tenemos que los exponentes i-1+j = k por lo que podemos usar la hipotesis para los factores segundo y tercero
= a^1 · a^(i-1+j) = a^(1+i-1+j) = a^(i+j)
Luego para cualesqueira índices i, j que sumen k+1 se cumple. Y con esto queda demostrada la inducción.
