Calcular la integral mediante sustitución trigonométrica para cada caso

No recordaba yo las derivadas de alguna función hiperbólica, estas son las que pueden servir ahora

$$\begin{align}&(argshx)´=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\ &\\ &(argchx)´= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\end{align}$$

Vamos a completar cuadrados en el radicando para ver cuál es

x^2-6x+13 = (x-3)^2 -9 + 13 = (x-3)^2 + 4

Luego es el argshx la que sirve, simplemente debemos acondicionar para quede de la forma

Adecuada.

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+13}}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{dx}{\sqrt{(x-3)^2+4}}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{dx}{2 \sqrt{\frac{(x-3)^2}{4}}+1}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{dx}{2 \sqrt{\left(\frac{x-3}{2}\right)^2+1}}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{\frac 12dx}{\sqrt{\left(\frac{x-3}{2}\right)^2+1}}=\\ &\\ &\\ &argsh\left(\frac{x-3}{2}  \right)+C=\\ &\\ &\text{Ponemos la forma nomal del argshx}\\ &\\ &ln\left[\frac{x-3}{2}+\sqrt{1+\left(\frac{x-3}{2}\right)^2}  \right]+C=\\ &\\ &ln\left[\frac{x-3}{2}+\frac{\sqrt{x^2-6x+13}}{2}  \right]+C=\\ &\\ &ln(x-3+\sqrt{x^2-6x+13})-\frac 12ln2+C=\\ &\\ &\\ &ln(x-3+\sqrt{x^2-6x+13})+C\end{align}$$

Y eso es todo.