Por favor, ayuda para resolver la ecuación diferencial

¿Es esta la ecuación diferencial?

$$y\,dy = 4x \sqrt{y^2+1}$$

Sí, efectivamente con la condición inicial y(0)= 1, gracias por su atención, Luz.

Vamos con ella. La pena es que hay un fallo en la página web y no funciona el editor de ecuaciones, quedará todo más feo y difícil de entender.

y dy = 4x·sqrt(y^2+1)dx

pasamos a un lado toda la x y al otro toda la y porque es una ecuación separable.

y dy / sqrt(y^2+1) = 4x dx

Integramos en los dos lados que son integrales muy sencillas e inmediatas

sqrt(y^2+1) = 2x^2 + C

y^2 + 1 = 4x^4 + 4Cx^2 + C^2

y^2 = 4x^4 + 4Cx^2 + C^2 - 1

y = sqrt(4x^4 + 4Cx^2 + C^2 - 1)

Calculamos el valor de C para que y(0) = 1

y(0) = 1 = sqrt(C^2-1)

1 = C^2-1

C^2 = 2

C = sqrt(2)

Con lo cual la solución es

y = sqrt[4x^4 + 4sqrt(2)x^2 + 2 -1]

y = sqrt[4x^4 + 4sqrt(2)x^2 + 1]

Y eso es todo.