Estadística matemática con aplicaciones 28

3.170)

El teorema de Tchebysheff sin letras griegas y sin la inicial de Quebec dice

P(|Y-media|<c·desviación) >= 1-1/c^2

Vamos a llamar m = media y d = desviación para abreviar

P(|Y-m|<cd) >= 1-2/c^2

|Y-m| < cd significa

-cd < Y-m < cd

-cd+m < Y < cd+m

Pongamos ya los valores d y m que nos da el ejercicio

- 0,01c+0,5 < Y < 0,01c+0,5

Si hacemos c=2 tendremos los 0,48 y 0,52 que nos pide el ejercicio y el teorema dirá entonces:

P(0,48 < Y < 52) >= 1-1/2^2 = 3/4

Luego si la es monedas son 400 se espera que mas de tres cuartos estén

En esos límites,

(3/4)· 400 = 1200/4 = 300

Se espera que al menos 300 monedas tengan el diámetro entre 0,48 y 0,52.

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3.171)

Lo primero es ir a a teoría para ver que en una distribución de Poisson de parámetro lambda, la media y la varianza tienen valor lambda (pág. 134)

Lo que aparece en el teorema de Chebysev (que en otros sitios lo escriben así) es la desviación estándar que será sqrt(lambda)

El teorema adecuado a nuestra variable de Poisson será:

P(|Y-lambda| < c·sqrt(lambda)) >= 1-1/c^2

Lo que el confuso problema viene a decir encontrar una cantidad mínima y máxima de lombrices tal que la probabilidad de que un pie cuadrado tenga una cifra en es intervalo sea mayor o igual a 5/9.  El teorema de Chebysev viene que ni pintado para hallarlo, basta que hagamos que la parte derecha sea 5/9, es decir

1-1/c^2 = 5/9

(c^2-1)/c^2 = 5/9

9(c^2-1) = 5c^2

9c^2 - 9 = 5c^2

4c^2 = 9

c^2 = 9/4

c= 3/2

Ahora este c lo aplicamos en la parte izquierda.  Recordar que en nuestro problema lambda=media=100

P(|Y-100|<(3/2)sqrt(100)) >= 5/9

P(|Y-100|< (3/2)·10) >=5/9

P(|Y-100|<15)>5/9

Y el intervalo e el que Y cumple eso es

-15 < Y-100 < 15

Sumamos 100

85 < Y < 115

Luego el intervalo es (85,115)

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3.172)

Aquí tengo lo que se respondió en el 3.115

Eran seis transistores con dos defectuosos tomados de 3 en tree e Y era el número de defectuosos

Los casos totales son C(6,3) = 6·5·4/6 = 20
P(0) = C(2,0)·C(4,3)/20 = 4/20 = 1/5 = 0,2
P(1) = C(2,1)·C(4,2)/20 = 2·6/20 = 3/5 = 0,6
P(2) = C(2,2)3C(4,1)/20 = 4/20 = 1/5 =0,2
Lo de representar el histograma ya sabes, abajo escribes 0,1 y 2 y al cero la dibujas una
rectángulo de altura igual a la del 2 y al 1 le dibujas tes veces esa altura.

Vamos a calcular la media y la desviacióin estandar

m = 0·0,2 + 1·0,6 + 2·0,2 = 1

La varianza = (-1)^2·0,2+ 0^2·0,6 + 1^2·0,2 = 0,4

desviación=sqrt(0,4) = 0,6324555

Dos desviaciones estandar de la media son

1-2·06324555 y 1+2·0,6324555

Que nos proporcionan este intervalo

(-0.264911, 2.264911)

En ese intervalo entran todos los valores que puede tomar la variable que son 0,1,2, luego entra el 100%

El teorema de Chebysev diría

P(|Y-media|<c·desviación) >= 1-1/c^2

Que aplicado a nuestro ejerccicio y al caso de los valores que se alejan menos de dos desviaciones estandar de la media dice

P(|Y-1|<2·0,6324555)  >= 1-1/2^2 = 1-1/4 = 3/4

Aquí dice que esos valores serán al menos un 75% pero la realidad es que eran un 100%. Eso significa que el teorema de chebysev no proporciona los mejores resultados posibles

Y eso es todo.