Álgebra abstracta de fraleigh 2

6.8)

Vamos a llamar & a la operación suma modulo n para distinguirla del + que es la suma normal en N

Dado el conjunto Zn = {1, 2, 3,..., n}, lo primero vamos a renombrar el n, a efectos prácticos es mejor llamarlo 0.

Zn={0,1,2,3,4,...,n-1)

1) & es una operación interna.  

a&b = (a+b) mod n

Y un número mod n es el resto r de dividirlo por n que toma como valores 0<=r<n

2) Hay un elemento neutro

a&0 = 0&a = a

3) Todo elemento i tiene su inverso, le denotaré i' = n-i

i&i' = i'&i = (i+(n-i)) mod n = n mod n = 0

4) Es asociativa:

(i & j) & k = (((i+j) mod n) + k) mod n

i & (j & k) = (i +((j+k) mod n)) mod n

Previamente demostraremos que

((x mod n) + y) mod n = (x+y) mod n

Sea x = cn + r con 0<=b<n  por el algoritmo de la división existe

La parte izquierda será

(r+y) mod n

La derecha

(cn + r + y) mod n  = (r+y) mod n

Como cn es múltiplo de n no afecta al resto que lo quitemos, el algoritmo de la división dará el mismo resto con el nuevo cociente incrementado en c

Si b es el cociente de r+y entre n y s el resto tendremos

r+y = bn + s

(cn+r+y) = (c+b)n + s

Por supuesto también se cumple, y se demuestra de forma análoga que

(x + (y mod n)) mod n = (x+y) mod n

Después de esta demostración previa nos queda en la parte izquierda

(i & j) & k = (((i+j) mod n) + k) mod n = ((i+j)+k)mod n

Y en la derecha

i & (j & k) = (i +((j+k) mod n)) mod n = (i+(j+k))mod n

Y como (i+j)+k = i+(j+k) queda probado que es asociativa

Y (Zn, &) cumple todas las condiciones para ser un grupo.

Eso es todo.