Problema de geometría
Determine el punto Q que es el simétrico del punto P=(0, 1, 0) respecto al plano que definen los puntos A=(1, 1, 0), B= (-1, 2, 1) y C=(2, 3, 4)
1 respuesta
Calculemos la ecuación del plano
| x-1 y-1 z| |x-1 y-1 z||-1-1 2-1 1| = 0 |-2 1 1| = 0| 2-1 3-1 4| | 1 2 4|
(x-1)(4-2) - (y-1)(-8-1) + z (-4-1) = 0
2(x-1) +9(y-1) - 5z = 0
2x + 9y - 5z - 2 - 9 = 0
2x + 9y - 5z - 11 = 0
El simétrico de P(0,1,0) estará en la perpendicular al plano que pasa por P a igual distancia por el otro lado del plano.
Vamos a calcular la distancia del punto P(0,1,0) al plano
d = | 2·0 + 9·1 - 5·0 -11| / sqrt(2^2 + 9^2 + 5^2) = |-2| / sqrt(4+81+25) = 2 / sqrt(110) =
vamos a racionalizarlo
= 2sqrt(110) / 110 = sqrt(110) / 55
Y el vector de la recta es el perpendicular al plano, o sea, el director del plano
(2, 9, -5)
El módulo de este vector es sqrt(110)
Luego el vector paralelo que mide sqrt(110) / 55 es
(1/55)(2, 9, 5)
Ahora aplicando este vector al punto P o bien damos con un punto del plano o bien nos alejamos. Sin hacer la gráfica será difícil saber que va a pasar, vamos a probar
(0, 1, 0) + (2/55 + 9/55 + 5/55) = (2/55, 64/55, 5/55)
Comprobamos si está en el plano
2·2/55 + 9·64/55 - 5·5/55 - 11 =
4/55 + 576/55 - 25/55 - 11·55/55 = 0/55 = 0
Pues ha habido suerte hemos ido hacia el plano y estamos en él. Aplicando otra vez el mismo vector daremos con el punto simétrico
(2/55, 64/55, 5/55) + (2/55, 9/55, 5/55) = (4/55, 73/55, 10/55)
Y ese es el punto simétrico. Cuando solo se puede simplificar una fracción casi es mejor dejarlas todas con el mismo denominador y se hace uno una mejor idea del punto.
Y eso es todo.
