Geometría Analítica: Elipse

Con referencia a la elipse 3x^2 + 16y^2 = 91 halle los valores de “ k “ para los cuales las rectas de la familia x + ky = 13 cumpla con lo siguiente:

a) Cortan a la elipse en dos puntos diferentes.

b) Son tangentes a la elipse en dos puntos diferentes.

c) No cortan a la elipse.

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Respuesta
1

Hay que resolver el sistema de ecuaciones. Para ello despejemos x en la familia de rectas

x= 13-ky

y llevamos ese valor a la primera ecuación

3(13-ky)^2 + 16y^2 = 91

3(169 - 26ky + k^2·y^2) + 16y^2 - 91 = 0

507 - 78ky + 3k^2·y^2 + 16y^2 - 91 = 0

(3k^2 + 16)y^2 - 78ky + 416 = 0

Es una ecuación de segundo grado, el número de respuestas depende del discriminante

que es d = b^2-4ac en la ecuación ax^2 + by + c = 0

Si d > 0 hay dos cortes, si es 0 hay un corte y si es d < 0 no hay cortes

d = (78k)^2 - 4(3k^2+16)416 =

6084k^2 - 4992k^2 - 26624 =

1092k^2 - 26624

Habrá dos cortes si 1092k^2-26624 > 0

1092k^2 > 26624

k^2 > 26624 / 1092 = 512/21

|k| > sqrt(512/21)

En resumen

2 cortes si |k| > sqrt(512/21)

1 corte si |k| = sqrt(512/21)

0 cortes si |k| < sqrt(512/21)

Y eso es todo.

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