Demostrar las sig. Identidades

Usamos la fórmula

cos(a+b) = cosa·cosb -sena·senb

si lo aplicamos con a=b tenemos

cos(a+a) = cosa·cosa - sena·sena

cos(2a) = cos²a - sen²a

sumando 1 en ambos lados

1+cos(2a) = cos²a - sen²a +1

dado que sen²a+cos²a=1 entonces -sen²a+1=cos²a y tenemos

1+cos(2a) = cos²a + cos²a

1+cos(2a) = 2cos²a

cos²a = [1+cos(2a)] / 2

cosa = sqrt{[1+cos(2a)] / 2

y si esto lo aplicamos a a=x/2 tendremos

cos(x/2) = sqrt[(1+cosx)/2]

La demostración para el seno es similar, lo que se hace es restar 1 en vez de sumarlo

cos(2a) = cos²a - sen²a

-1 + cos(2a) = -1 + cos²a - sen²a

-1 + cos(2a) = -sen²a -sen²a

-1+cos(2a) = -2sen²a

1 - cos(2a) = 2 sen²a

sen²a = [1-cos(2a)] / 2

sena = sqrt{[1-cos(2a)] / 2
y si esto lo aplicamos a a=x/2 tendremos
sen(x/2) = sqrt[(1-cosx)/2]

Aunque una vez calculado el coseno podríamos haber hecho

$$\begin{align}&sen\left(\frac x2\right)= \sqrt{1-\cos^2\left(\frac x2\right)}=\\ &\\ &\\ &\sqrt{1-\frac{1+cosa}{2}}=\\ &\\ &\\ &\sqrt{\frac{2-1-cosa}{2}}=\\ &\\ &\\ &\sqrt{\frac{1-cosa}{2}}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.