Buenos días.Me plantean en el instituto el siguiente problema de probabilidad.El 80 % de los penalti
Les repito:el 80 % de los penaltis lanzados por un jugador los hace con la pierna derecha.De ellos convierte en gol el 70 % mientras que si lo hace con la izquierda,el porcentaje de gol es el 60 %. A)prob. De que de 10 penaltis meta los 10. B)prob. De que al lanzar 500 penaltis sean goles mas de 430. C) Su entrenador observa,durante este experimento que sería mas correcto dar a la probabilidad de gol un 0,73 ,calcula la probabilidad de con este nuevo dato lo haya tirado con la derecha.Gracias por su ayuda
1 Respuesta
a) La los 10 penaltis lanzará 8 con la derecha y 2 con la izquierda.
La probabilidad de meter los 8 con la derecha será
P(8 derecha) = 0.7^8 = 0.05764801
Y la de meter los 2 con la izquierda es
P(2 izquierda) = 0.6^2 = 0.36
Luego la probabilidad de meter los 10 es
P(10) = 0.05764801 · 0.36 = 0.0207532836
b) De los 500 penaltis tirará 400 con la derecha y 100 con la izquierda.
El problema bien resuelto sería la combinación de dos binomiales
Una B1(400, 0.7) y una B2(100, 0.6)
y habría que calcular
P(B1+B2 > 430)
Digamos que salvo para un ordenador es algo imposible de calcular
P(B1=400)·P(B2>30) + P(B1=399)·P(B2>31)+ ... +P(B1=331)·P(B2=100)
Como digo, hace falta ordenador para hacer tanto cálculo.
Vamos a reducirlo todo a una sola binomial
La probabilidad de meter gol independientemente de la pierna usada es
P = 0.8 · 0.7 + 0.2 · 0.6 = 0.56 + 0.12 = 0.68
Ahora tenemos una B(500, 0.68)
La aproximaremos mediante una normal X con
media = np = 500·0.68 = 340
desviación = sqrt[np(1-p)] = sqrt(340·0.32) = sqrt (108.8) = 10.43072385
P(B>430) = 1 - P(B <=430) =
Hay que usar la teoría sobre esto, como el 430 entra se la suma 0.5)
= 1 - P(X <= 430.5) =
Y ahora se tipifica a una Z ~ N(0,1) restando la media y dividiendo entre la desviación
= 1 - P[Z <= (430.5 - 340) / 10.43072385] =
1 - P ( Z <= 8.676291435) =
Las tablas solo muestran valores hasta 3.49 donde ya vale 0.9998, luego para 8.67629 se supone que esa probabilidad vale 1
= 1 - 1 = 0
Es prácticamente imposible que meta más de 430 penaltis.
c) Es un tanto confusa esta pregunta. Si tras varios disparos tiene una probabilidad de 0.73 no solo significa que está tirando con la derecha o la izquierda sino que además la probabilidad de meter gol es superior a las que nos han dado.
Yo creo que hay un fallo en el enunciado o no está bien explicado.
Si tu sabes a qué se refieren dímelo.
Y eso es todo.
Le doy muchas gracias por su explicación.Preguntarle 2 cosas: En lo de meter 10 goles,8 con la derecha y 2 con la izquierda,sería bueno multiplicarlo por el número combinatorio 10 sobre 8 ?.Y segunda:En el tercer apartado entiendo lo siguiente : al principio la P (dcha) = 0,8 . La P (izquierda) = 0,2 . P ( gol ) = 0,68 . P (no gol ) = 0,32. Resulta que después de ver los 500 lanzamientos,el entrenador estima que sería mejor dar a la probabilidad de gol 0,73 .y me piden cuál sería la nueva probabilidad de haberlo tirado con la derecha.Sospecho,y aunque entre paréntesis mi profesor me ha puesto que repase la binomial,que se hace como lo de tipificar pero ahora partiendo de la probabilidad pero ni estoy claro ni sé cómo hacerlo. Muchísimas gracias por todo.
No, no hay que usar el número combinatorio 10 sobre 8, eso sería cuando de 10 se acertaran 8, pero lo que estamos haciendo es que de los 8 de la derecha se acierten los 8, eso sería el número combinatorio 8 sobre 8 que por ser 1 no lo he puesto
P(8) = C(8,8) · 0.7^8 · 0.3^0 = 0.7^8
Lo que pasa es que cuando piden acertar todos o ninguno se pone directamente
p^n
o
(1-p)^n
Sin usar la fórmula de la probabilidad binomial, aunque podría usarse.
Luego con los 2 de la izquierda es lo mismo
P(2) = C(2, 2) · 0.6^2 · 0.4^0 = 0.6^2
Y la probabilidad de que se den las dos cosas es el producto de sus probabilidades.
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Sobre el tercero ya te dije que no se puede llegar a una probabilidad de 0.73 con un simple cambio en la distribución de penaltis tirados con una pierna u otra, ya que el máximo a lo que se puede llegar es tirando todos con la derecha y sería 0.70.
Y en el caso de que fuese una probabilidad comprendida entre 0.6 y 0.7 se hace como hice en el anterior, mediante una ecuación.
Y eso es todo.
