Estadística matemática con aplicaciones 5.66

a) Hay que evaluar la función de distribución conjunta F(y1, y2) en el punto (y1, infinito). BUeno, más que evaluar es calcular un límite, pero ya nos entendemos. Lo que debemos saber es que el límite de una función de distribución en el infinito es 1. Entonces va a quedar.

$$\begin{align}&F(y_1,\infty)=F_1(y_1)·1[1-\alpha(1-F_1(y_1))(1-1)]=\\ &F_1(y_1)[1-0] = F_1(y_1)\end{align}$$

b) El proceso es el mismo y queda

$$F(\infty,y_2)=F_2(y_2)$$

c) Si alfa = 0 queda

F(y1, y2)= F1(y1)·F2(y2)

Por la definición 5.8, dos variables son independientes si y solo si la función de distribución conjunta es igual al producto de las funciones de densidad de cada una. Y eso es lo que sucede aquí porque ya vimos arriba que F1 y F2 eran las funciones de distribución respectivas de Y1 e Y2

d) No, si alfa es distinto de cero las variables son dependientes. Porque la distribución conjunta ya no será el producto de las distribuciones individuales. El factor ese que hay detrás no puede valer siempre 1 ya que eso supondría

(1-F1(y1))(1-F2(y2)) = 0 para todo y1, y2

Pero siempre habrá un valor k suficientemente cercano a -infinito si es necesario donde ambas funciones valgan distinto de 1, ya que el limite en de las dos funciones en -infinito es cero. Y de ahí a la izquierda ese producto no valdrá cero.

Y eso es todo.