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Use el Teorema de Wilson para calcular el resto de dividir 42! Entre 2021
De este tipo de problemas ya he hecho dos y es fácil liarse y fallar. Y en este no se puede comprobar con la calculadora de WIndows, espero hacerlo bien.
Factorizamos 2021 = 43·47
La demostración de lo que se hace sirve ya la he dado dos veces, me la ahorro. Hay que calcular las congruencias de 42! Modulo 43 y 47
Por el teorema de Wilson ya que 43 es primo
42! ~ -1 (mod 43)
Y como 47 es primo
46! ~: -1 (mod 47)
46·45·44·43·42! ~: -1 (mod 47)
(-1)(-2)(-3)(-4)42! ~: -1 (mod 47)
24·42! ~: -1 (mod 47)
Multiplicando por 2
48·42! ~: -2 (mod 47)
Y restando 47·42!
42! ~: -2 (mod 47)
Ya tenemos las congruencias y ponemos x como incógnita en lugar de 42! Para aplicar el teorema chino de los restos
x ~: -1 (mod 43)
x ~: -2 (mod 47)
La solución es
x* = (2021/43)b1(-1) + (2021/47)b2(-2)
Donde
47·b1 ~: 1 (mod 43)
43·b2 ~: 1 (mod 47)
En la primera restamos 43·b1
4·B1 ~: 1 (mod 43)
Multiplico por 11
44·b1 ~: 11 (mod 43)
Resto 43·b1
b1 ~: 11 (mod 43)
En la segunda resto 47·b2
-4·B2 ~: 1 (mod 47)
Multiplico por 12
-48·b2 ~: 12 (mod 47)
Sumo 47·b2
-b2 ~: 12 (mod 47)
b2 ~: -12 (mod 47)
x* = 47·11·(-1) + 43(-12)(-2) = -517+1032 = 515
Luego el resto es 515, lo he repasado varias veces.
Y eso es todo.
