La formula de un Circulo que es Tangente...

La circunferencia será tangente a la recta

3x + y + 2 = 0

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que va al punto de contacto. Luego podemos obtener el vector del radio tomando uno perpendicular al de la recta.

Dada una recta en la forma

Ax+By+C = 0

El vector director de la recta es (B, -A)

Luego el vector de nuestra recta es (1, -3)

Y un vector perpendicular se obtiene cambiando de lugar y negando uno de los dos.

Obtenemos asi el vector (3, 1) que es perpendicular al recta y paralelo al radio que va al punto (1,1)

El centro será un punto de la forma

(-1,1)+a(3,1) = (-1+3a, 1+a)

Y la ecuación de la recta será

(x+1-3a)^2 + (y-1-a)^2 = R^2

Sabemos que esa circunferencia debe pasar por los puntos

(-1,1) y (3,5), luego tenemos estas dos ecuaciones

(-1+1-3a)^2 + (1-1-a)^2 = R^2 ==> 9a^2 + a^2 = R^2 ==> 10a^2 = R^2

(3+1-3a)^2 + (5 -1-a)^2 = R^2 ==> (4-3a)^2 +(4-a)^2 = R^2

Podemos igualarlas porque son iguales a R^2

10a^2 = (4-3a)^2 + (4-a)^2

10a^2 = 16 +9a^2 -24a + 16 + a^2 - 8a

10a^2 = 10a^2 -32a +32

-32a + 32 = 0

-32a = -32

a = -1

y si a= 1 tenemos

R^2 = 10a^2 = 10

Con estos datos, la ecuación de la circunferencia es:

(x+1-3a)^2 + (y-1-a)^2 = R^2

(x+1-3)^2 + (y -1 -1)^2 = 10

(x-2)^2 + (y-2)^2 = 10

Esa es una forma perfecta de dejar la ecuación, nos dice que el centro es (2, 2) y que el radio mide sqrt(10).

Pero por si te piden la forma con todo operado, es

x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4= 10

x^2 + y^2 - 4x - 4y - 2 = 0

Comprobemos que está bien

en (-1, 1) tenemos 1+1-4+4-2 = 0

en (3,5) tenemos 9 +25 -12 - 20 - 2 = 0

Y el vector radio de (2,2) a (-1,1) es (-3,-1) que es perpendicular al (1, -3) de la recta porque su producto escalar es

(-3)1+(-1)(-3) = -3 + 3 = 0

Y eso es todo.