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4.25)
Para calcular la media y varianza de una distribución continua hay que conocer la función de densidad, ya que
media = $y·f(y) dy entre -oo y +oo
Varianza = $(y-media)^2·f(y)·dy entre -oo y +oo
La función de densidad se obtiene simplemente derivando la de distribución:
f(y) =
0 si -oo < y <= 0
1/8 si 0 < y <= 2
y/8 si 2 <= y <= 4
0 si y >= 4
Ahora la media sera la suma de estas dos integrales, (porque en los otros intervalos la densidad es nula)
$y(1/8) dy entre [0, 2] = (y^2)/16 entre 0 y 2 = (2^2)/16 -(0^2)/16 = 4/16 = 1/4
$y(y/8) dy entre [2 y 4] = (y^3/24) entre 2 y 4 = (4^3)/24 - (2^3)/24 = 56/24 = 7/3
media = 1/4 + 7/3 = (3+28 )/12 = 31/12
Y la varianza es la suma de estas otras dos integrales
$(y-31/12)^2·(1/8) dy entre 0 y 2 = (y^3)/24 - (31/96)y^2 + (961/1152)·y =
8/24 - 124/96 + 1922/ 1152 = (384 - 1488 + 1922)/1152 = 818/1152 = 409/576
$(y-31/12)^2·y/8 dy entre 2 y 4 = (y^4)/32 - (31/144)y^3 + (961/2304)y^2 =
(256-16)/32 - (31/144)(64-8) + (961/2304)(16-4) =
15/2 - 217/18 + 961/192 = (4320-6944+2883)576 = 259/576
V(Y) = 409/576 + 259/576 = 668/576 = 1,1597222
Y eso es todo.
