Estadística matemática con aplicaciones... Cap de3 estimación 2

a) La esperanza del máximo de funciones iguales e independiente es el máximo de las esperanzas, que es la esperanza de una de ellas.

$$\begin{align}&E(\widehat{\theta})=\int_0^{\theta}\frac{y·\alpha·y^{\alpha-1}}{\theta^{\alpha}}dy =\\ &\\ &\frac{\alpha}{\theta^{\alpha}}\int_0^{\theta} y^{\alpha}dy = \\ &\\ &\frac{\alpha}{\theta^{\alpha}}\left[\frac{y^{\alpha+1}}{\alpha+1}  \right]_0^{\theta}= \\ &\\ &\\ &\frac{\alpha}{\theta^{\alpha}}\frac{\theta^{\alpha+1}}{\alpha+1}=\frac{\alpha \theta}{\alpha+1}\end{align}$$

Al ser el resultado distinto de theta es un estimador sesgado.

b) Si tomamos como estimador

$$\begin{align}&\widehat{\theta} = \left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right)max(Y_1,Y_2,...,Y_n)\\ &\\ &\text{tendremos }E(\widehat{\theta}) = \theta.\\ &\\ &\text{el multiplicador es }\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right)\end{align}$$

c)

$$\begin{align}&MSE(\widehat{\theta})=E[(\widehat{\theta}-\theta)^2]=\\ &\\ &\int_0^{\theta}(y-\theta)^2 \frac{\alpha· y^{\alpha-1}}{\theta^{\alpha}}dy=\\ &\\ &\frac{\alpha}{\theta^{\alpha}}\int_0^{\theta} (y^{\alpha+1}-2\theta y^{\alpha}+\theta^2y^{\alpha-1})dy =\\ &\\ &\\ &\frac{\alpha}{\theta^{\alpha}}\left(\frac{\theta^{\alpha +2}}{\alpha+2}- \frac{2\theta^{\alpha+2}}{\alpha +1}+\frac{\theta^{\alpha+2}}{\alpha}\right)=\\ &\\ &\alpha \left( \frac{\theta^{2}}{\alpha+2}- \frac{2\theta^{2}}{\alpha +1}+\frac{\theta^{2}}{\alpha} \right)=\\ &\\ &\\ &\alpha \theta^2\left( \frac{\alpha^2+\alpha-2 \alpha^2 -4\alpha+\alpha^2+3 \alpha^2+2}{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)} \right)=\\ &\\ &\\ &\theta^2 \left( \frac{2}{(\alpha+1)(\alpha+2)} \right)=\\ &\\ &\\ &\frac{2\theta^2}{\alpha^2+3 \alpha + 2}\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.