Geometría Analítica: Elipse

Hay tres medidas importantes en la elipse.

A semieje mayor

B semieje menor

C semidistancia focal

Y entre ellas se cumple a^2 = b^2+c^2

Conocemos c que es la distancia del centro al foco

c=2sqrt(6)

c^2 = 24

La ecuación canónica de una elipse con centro en (0,6) es

$$\begin{align}&\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-6)^2}{b^2}=1\\ &\\ &Como \;a^2= b^2+c^2 = b^2+24\\ &\\ &\frac{x^2}{b^2+24}+\frac{(y-6)^2}{b^2}=1\\ &\\ &b^2x^2+(b^2+24)(y-6)^2 = b^4+24b^2\\ &\\ &\text{Como pasa por (4,33/5)}\\ &\\ &16b^2+(b^2+24)\left(\frac{33}{5}-6\right)^2=b^4+24b^2\\ &\\ &16b^2+(b^2+24)\frac{9}{25}=b^4+24b^2\\ &\\ &400b^2+9b^2+216=25b^4+600b^2\\ &\\ &25b^4+191b^2 -216=0\\ &\\ &\text{Ecuación bicuadrada}\\ &\\ &b^2=\frac{-191 \pm \sqrt{191^2+4·25·216}}{50}=\\ &\\ &\frac{-191\pm \sqrt{58081}}{50}=\frac{-191+241}{50}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Una de las respuestas es negativa, luego es imposible que sea b^2, la otra es la que sirve

b^2=1

b=1

Luego b=1 y entonces

a^2 = b^2+c^2 = 1+24 = 25

Luego la elipse es

$$\begin{align}&\frac{x^2}{25}+(y-6)^2=1\\ &\\ &\text{o en forma general sería}\\ &\\ &x^2+25y^2-300y +900 =25\\ &\\ &x^2+25y^2-300y +875=0\end{align}$$

Y eso es todo.