Es la primera vez que te pregunto sobre probabilidad

X puede tomar valores en (-N, N-1)

Y puede tomar valores en (x+1, N)

Para x=-N los diversos valores de la probabilidad dependiendo de y son

c(1+2+3+...+2N) =

para x = -N+1 hay una posibilidad menos para la y y las sumas son

c(1+2+3+ ...+ 2N-1)

Y cada vez que añadimos una unidad a la x desaparece el ultimo sumando anterior, así llegaremos has el último que será

c(1)

Debemos sumar todos esos sumatorios

c[1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) + .....+ (1+2+...+2N)] =

Si usamos la fórmula de la suma de sucesiones aritméticas tendremos

c [1 + 2(1+2)/2 + 3(1+3)/2 + 4(1+4)/2 + 2N(1+2N)/2] =

c[1 + 2/2 + 2^2/2 + 3/2 + 3^2/2 + 4/2 + 4^2/2 + ... + 2N/2 + (2N)^2/2] =

Si el 1 lo ponemos como 1/2 +1^2/2 y agrupamos por una lado los cuadrados y por otro los no cuadrados y ya de paso sacamos el 2 del denominador de factor común tendremos

= (c/2) [1+2+3+4+... +2N + 1^2+2^2+3^2+...+(2N)^2] =

La sucesión de los naturales es sencillo sumarla, la de los cuadrados no, pero sabemos que existe una fórmula y en algún libro o en internet está.

Suma de los cuadrados

Dicha fórmula es

1^2+2^2+ ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

luego la suma de cuadrados hasta 2N es

2N(2N+1)(4N+1)/6

con lo cual la suma es

= (c/2) [2N(1+2N)/2 + 2N(2N+1)(4N+1)/6] =

(c/2) [2N(1+2N)/2] (1 + (4N+1)/3] =

(c/2) N(1+2N)(3+4N+1)/3 =

2cN(1+2N)(N+1)/3 =1

que por ser la suma de todas las probabilidades debe ser 1. Luego

c= 3 / [2N(1+2N)(N+1)]

Me quedo con la duda de la fórmula, voy a comprobarla. Comprobaré que

2N(1+2N)(N+1)/3 es el sumatorio inicial

Para N=1 el sumatorio era

1+(1+2) = 4

2·3·2/3 = 4

para N=2 era

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4) = 20

2·2·5·3/3 = 20

para N=3 era

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4+5+6) = 56

2·3·7·4/3 = 56

Oye, va perfectamente.

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Las funciones de densidad serán:

Fx(x) será la suma de las probabilidades de todos pares (x, y) con x constante y y variable.

Es el sumatorio de

c[1+ 2 + 3 +...+(N-x)] = c(N-x)(1+N-x)/2

fx(x) = 3(N-x)(1+N-x) / [4N(1+2N)(N+1)] si x € [-N, N+1]; si no 0

Y fy(y) será la suma de probabilidades de los pares (x, y) donde x es varable y y es fijo

Como x< y el sumatorio es

c(1+2+3+ ... +N+y) = c(N+y)(1+N+y)/2

fy(y) = 3(N+y)(1+N+y) / [4N(1+2N)(N+1)]si y € [-N+1, N]; si no 0.

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La tercera parte no caigo ahora como se puede hacer, es un problema bastante complicado.

Respecto al funcionamiento de la web, es que cuando puntúas la pregunta desaparece y ya no puedo hacer nada. Por eso hubo una que puntuaste cuando te pedía una aclaración, tendrías que volver a mandarla para que pueda hacerla

Luego la que te dije que mandarás el resto en otra pregunta tienes que mandarme otra pregunta para que consteste lo que falta.

Y en esta te pido que la puntués ya y mandes otra pregunta con la parte que falta, pero ya te digo que de momento no sé hacerla.