Análisis matemático... Libro lima 6

Vamos a ver como se puede demostrar.

$$\begin{align}&\alpha \lt \frac{a_i}{b_i}\lt \beta\\ &\\ &\text {Como }b_i\ge 0 \text{ se cumple}\\ &\\ &\alpha b_i \lt a_i \lt \beta b_i\\ &\\ &\text{los sumamos todos}\\ &\\ &\alpha \sum_{i=1}^nb_i \lt \sum_{i=1}^n a_i\lt \beta \sum_{i=1}^nb_i\\ &\\ &\\ &\text{Y ahora dividimos por el sumatorio de los }b_i\\ &\text{que por ser positivo se mantienen los signos}\\ &\\ &\alpha \lt \frac{\sum_{i=1}^n a_i}{\sum_{i=1}^n b_i}\lt \beta\end{align}$$

Vamos con la segunda parte.

$$\begin{align}&\alpha \lt \frac{a_i}{b_i}\lt \beta\\ &\\ &\\ &\alpha \lt \frac{t_ia_i}{t_ib_i}\lt \beta\\ &\\ &\\ &\text{como }t_ib_i \ge 0 \text { podemos hacer}\\ &\\ &\alpha t_ib_i \lt t_ia_i \lt \beta t_ib_i\\ &\\ &\text {los sumamos todos}\\ &\\ &\alpha \sum_{i=1}^nt_ib_i \lt \sum_{i=1}^n t_ia_i \lt \beta \sum_{i=1}^n t_ib_i\\ &\\ &\text {y como el sumatorio de los b es positivo}\\ &\\ &\alpha  \lt \frac{\sum_{i=1}^n t_ia_i}{\sum_{i=1}^nt_ib_i} \lt \beta\end{align}$$

Y eso es todo.