Supremo e ínfimo... Está acotado por arriba?

Para demostrar que A no está acotado por arriba tendremos que comprobar que:

para todo k € N existe n € N tal que 3^n > k

Y eso se ve a simple vista y es muy fácil, tomamos logaritmos en base 3

$$3^n\gt k \iff log_3\;3^n \gt log_3k \iff n \gt log_3 k$$

Luego dado k tomaremos como n el entero superior al logaritmo en base tres de k y tendremos que 3^n >k, luego A no tiene cota superior.

Y para el ínfimo de B vemos primero que todos los elementos son positivos, luego el ínfimo no puede ser negativo, porque si fuese un número negativo -h siempre podríamos tomar -h/2 que es mayor y es cota inferior de B. Y ahora comprobamos también que si es positivo no puede ser cota inferior, porque dado h>0

$$\begin{align}&\frac{1}{3^n}\lt h \iff log_3 \frac {1}{3^n} \lt log_3 h \iff \\ &\\ &\\ &-n \lt log_3h \iff n \gt -log_3h \iff n\gt log_3 \frac 1h \end{align}$$

Luego dado h>0 si tomamos como n el entero superior al logaritmo en base 3 de (1/n) tendremos que 1/(3^n) < h y entonces h no puede ser cota inferior y no puede ser ínfimo.

Asi que el ínfimo no puede ser ni negativo ni positivo, solo puede ser cero.

Y eso es todo.