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5.8)
Llamemos c al ciclo. Un ciclo mueve de lugar a todos los elementos del ciclo, luego mueve n elementos
Sea (1,2,3, ...,n) el ciclo
1c = 2
2c = 3
3c = 4
....
nc = 1
Todos han sido movídos por c
5.9)
Usaremos el teorema de caracterización de subgrupos que dice que un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo si
i) No es vacío
Ii) Para todo par de elementos a, b € H se verifica ab' € H. Donde con b' denoto el inverso de b.
Demostración:
i) No es vacío, el elemento (1,2) pertenece por ejemplo.
Ii) Sean a, b € H que esta incluido en SA
A y b son permutaciones que mueven un número finito de elementos.
b' También mueve un número finito de elementos, exactamente los mismos que movió b para devolverlos a su lugar.
Luego ab' moverán como mucho la suma de los elementos que mueve cada una. Y siendo los dos sumandos finitos también lo es la suma.
Luego ab' € H
Y con eso queda demostrado que H es un subgrupo de SA
5.10) No, no es un subgrupo. Sencillamente porque no tiene elemento neutro. El elemento neutro mueve cero elementos luego no pertenece a K.
Aparte de eso porque dos elementos pueden mover más de 50 elementos pero el producto puede mover menos de 50.
Sea a =(1,2)(3,4)(5,6)····(51,52) mueve 52 elementos
Sea b = (1,2)(3,4(5,6)...(49,50)(53,54) mueve 52 elementos
Tenemos a^2 = b^2 = e que mueven 0 elementos
Tenemos ab = (51,52)(53,54) que mueve 4 elementos.
Y eso es todo.
