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Por ser X finito existe f biyectiva de X en In. Esa misma f la definimos de X en N
Y ahora por el teorema 3 existe una aplicación inyectiva g de N en Y
Definimos h de X en Y por h(x) = g[f(x)] que es inyectiva por ser composición de inyectivas.
Bueno, use el nombre f antes de hora. La aplicación f que dicen es la h que he calculado.
Todo conjunto infinito contiene un subconjunto numerable. De esta forma podemos establecer una aplicación iyectiva de ese subconjunto en N y al resto de elementos de Y les damos la imagen de N que nos dé la gana. Esto será una aplicación sobreyectiva f de Y en N.
Y ahora establecemos una aplicación biyectiva del subconjunto {1, 2, ... Card(X)} de N en X. Y para el resto de elementos de N les damos la imagen de X que queramos. Esto será otra aplicación h sobreyectiva de N en X
La composición g=hof es una aplicación sobreyectiva de Y en X
Y eso es todo.
