¡ Por favor ayuda con vectores!

Por la forma en que nos dan la ecuación tenemos el vector director de los planos. Y el ángulo que forman los planos es el ángulo que forman los vectores.

Los vectores directores son

(-1,2,4)

(2,-4,-8)

este segundo lo podemos simplifica porque queda uno paralelo

(1, -2, -4)

Y tenemos los vectores

(-1,2,4) y (1,-2,-4)

Son vectores opuestos que forman entre si 180º. Pero no hay diferencia entre planos que forman 180º y planos que formen 0º son planos paralelos y no se cortan a menos que sean el mismo.

Veamos si son el mismo

pi1: (x-5,y+3,z-7).(-1,2,4)=0

-x+5 +2y+6 +4z-28 = 0

-x + 2y + 4z - 17 = 0

pi2: (x+3,y+5,z-9).(2,-4,-8)=0

2x+6 -4y-20 -8z+72 = 0

2x - 4y - 8z +58 = 0

lo dividimos entre -2 para que quede de la misma forma que el primero

pi2: |-5-x + 2y + 4z - 29 =0

Luego vemos que son dsitintos

Entonces no forman ángulo porque no se cortan.

Para calcular la distancia entre los plano encontramos un punto de uno de ellos y calculamos la distancia al otro plano.

De la forma que nos han dado la ecuación es facil calcular esos puntos.

El punto (5, -3, 7) pertenece al primero. Y su distancia al plano segundo es

d = |-5 - 2·3 +4·7 - 29| / sqrt(1^2 +2^2 + 4^2) =

|-5 - 6 +28 -29| / sqrt(21) =

|-12| / sqrt(21) =

12/sqrt(21)

Cuyo valor aproximado es 2.618614683