Pregunta de ecuaciones d
Hola Valeroasm!!!
Necesito urgente
Que condiciones debe cumplir un función q de la forma q(x^2 + y^2)para ser una función armónica, halla la función del caso general, y luego determina su conjugada armónica
Saludos
1 Respuesta
Esto no recuerdo haberlo estudiado yo, no sé hasta donde podré llegar, tendré que tirar de Wikipedia o similares.
Entonces debo suponer que te refieres a una función de dos variables
f(x, y) que puede expresarse como una función q(x^2+y^2)
Por ejemplo
f(x,y) = (x^2+y^2)^3·sen(x^2+y^2)
que podría expresarse como la función de una variable
q(z) = z^3·senz
siendo z = x^2+y^2
Confírmamelo, aunque estoy seguro que quieres decir eso.
Una funcion de n variables es una función armónica si:
La sumatoria de sus segundas derivadas parciales con respecto a sus variables es igual a cero: d^2f/dx1^2 + d^2f/dx2^2 + d^2f/dx3^2+...=0
Saludos
Como suponía y no desmientes, la función
q(x^2+y^2) es una función de dos variables, llemémosla f(x, y)
f(x,y) = q(x^2+y^2)
Calculamos las derivadas parciales segundas que se necesitan para estudiar si es una función armónica.
fx(x,y) = q'(x^2+y^2)·2x
fxx(x,y) = q''(x^2+y^2)·2x·2x+q'(x^2+y^2)·2 = 4x^2·q''(x^2+y^2) + 2q'(x^2+y^2)
Análogamente
fyy(x,y) = 4y^2·q''(x^2+y^2)+2q'(x^2+y^2)
La suma de ambas debe ser cero
4(x^2+y^2)q''(x^2+y^2)+4q'(x^2+y^2) = 0
(x^2+y^2)q''(x^2+y^2)+q'(x^2+y^2) = 0
Que haciendo el cambio de variable z=x^2+y^2 nos da esta ecuación diferencial con q la función y z la variable independiente
zq'' + q' = 0
hacemos el cambio de variable p = q' con lo cual quedará
zp' + p = 0
zp' = -p
p' / p = -1/z
Integrando en ambos lados
ln p = -ln z + ln C
ln p = ln(C/z)
p = C/z
q = $(C/z) dz = Cln(z) + C2
q(z) = C·ln(z) + C2
Asi debe ser la función q, con dos constantes C y C2 cualesquiera de R.
Como no da gusto usar subíndices con este editor llamare A y B a las constantes
Luego la función armónica será
f(x,y) = A·ln(x^2+y^2) + B
Lo dejo aquí de momento, esto no lo he dado y me cuesta. Haz el favor de puntuar el trabajo y manda el otro apartado en una pregunta nueva.
