Probabilidad y estadística 3... Variables aleatorias con función de densidad conjunta parte c)

c)

Acudamos a la definición de probabilidad condicional. Dados dos sucesos A y B

P(A | B) = P(A n B) / P (B)

Que para nuestro caso será

P(Y1 <= 3/4 | Y2 >= 1/2) = P(Y1 <= 3/4; Y2 >= 1/2) / P(Y2 >= 1/2)

El numerador es una integral de la función de densidad conjunta con loa límites adecuadamente elegidos y el denominador es una integral de la función de densidad marginal de Y2 entre 1/2 y 1.

Para elegir los límites de la función de densidad conjunta hay que acudir al dibujo y dibujar la recta vertical Y1=3/4 y la horizontal Y2 = 1/2. A la izquierda de la primera y arriba de la segunda esta la zona que cumple, es un triángulo arriba cuyos límites son

Y1 en [0, 1/2], Y2 en [1/2, 1-y1]

$$\begin{align}&P(Y_1 \le 3/4;\;Y_2 \ge 1/2)= \\ &\\ &\int_0^{\frac 12}\int_{\frac 12}^{1-y_1}30y_1y_2^2dy_2dy_1=\\ &\\ &10\int_0^{\frac 12} y_1\left[y_2^3  \right]_{1/2}^{1-y_1}dy_1= \\ &\\ &\\ &\\ &10\int_0^{\frac 12}y_1\left(1-3y_1+3y_1^2-y_1^3-\frac 18\right)dy_1=\\ &\\ &10\int_0^{\frac 12}\left(\frac{7y_1}{8}-3y_1^2+3y_1^3-y_1^4\right)dy_1=\\ &\\ &10\left[ \frac{7y_1^2}{16}-y_1^3+\frac{3y_1^4}{4}-\frac{y_1^5}{5} \right]_0^{\frac 12}=\\ &\\ &10\left( \frac {7}{64}- \frac 18+\frac{3}{64}-\frac{1}{160} \right)= \\ &\\ &10 \left(\frac{7-8+3}{64} -\frac{1}{160} \right)= \\ &\\ &10\left(\frac {1}{32} -\frac{1}{160} \right)= 10\left(\frac{5-1}{160}  \right)=\frac{40}{160}= \frac 14\end{align}$$

¡UFF!

Y ahora vamos con la probabilidad del denominador, recodemos que en la parte b habámos calculado la función de densidad marginal de Y2 que necesitamos.

$$\begin{align}&P(Y2\le 1/2)= \int_{\frac 12}^1 f_2(y_2) dy_2 =\\ &\\ &\int_{\frac 12}^1 (15y_2^2 - 30y_2^3+15 y_2^4)dy_2=\\ &\\ &\left[ 5y_2^3-\frac{30y_2^4}{4}+3y_2^5 \right]_{1/2}^1=\\ &\\ &5-\frac{15}{2}+3-\frac{5}{8}+ \frac{15}{32}- \frac{3}{32}=\\ &\\ &\frac{160-240+96-20+12}{32}= \frac {8}{32} = \frac 14\end{align}$$

Lo cual es lógico porque en el dibujo se veía que la zona Y1<=3/4 intersección Y2>=1/2 era la misma que la zona Y2>=1/2

Por lo que nos podíamos haber ahorrado todas las integrales que he hecho ya que numerador y denominador iban a ser iguales y la probabilidad condicionada sería 1. Pero no caí en ello, vaya torpeza.

En resumen:

P(Y1<=3/4 | Y2>=1/2) = (1/4) / (1/4) = 1

Y eso es todo.