Estadística matemática con aplicaciones 5.28

Una pregunta = Un ejercicio

5.28)

a)

Calculamos la función de densidad marginal de y1. Dado un valor de y1 en [0, 2], el valor de y2 puede variar en [0, (y1)/2]

$$f_1(y_1) = \int_0^{y_1/2} dy2=\left[y_2\right]_0^{y_1/2}=\frac{y_1}{2}$$

¡Ah,que me dicen con el limpiador! Esa es la marginal de Y2. La anterior no sirve pero la dejo por si acaso. Dado un valor de y2 en [0,1], el valor de y1 puede variar entre [2(y2), 2]

$$\begin{align}&f_2(y_2)=\int_{2y_2}^2 dy_1=\left[ y_1 \right]_{2y_2}^2=2-2y_2\\ &\\ &P(Y2>0.5) = \int_{0.5}^1 (2-2y_2)dy_2=\\ &\\ &2\left[ y_2-\frac{y_2^2}{3} \right]_{0.5}^1=2\left(1-\frac 13-\frac 12+\frac {1}{12}\right)=\frac 12\end{align}$$

b) Eso es P(Y1 >= 1.5 | Y2=0.5)

la función de densidad condicional es f(y1|y2) = f(y1,y2) / f2(y2) = 1/(2-2(y2))

$$\begin{align}&P(Y_1 \ge 1.5 | Y_2=0.5)=\int_{1.5}^2 \frac{dy_1}{2-2·0.5}=\\ &\\ &\left[ y_1 \right]_{1.5}^2 = \frac 12\end{align}$$

Y eso es todo.