Probabilidad y estadística 28 B

Dianis 1556!
2.107
Veamos exactamente  cuanto valen P(A|C) y P(B|C)
P(A|C) = P(AnC) / P(C)
P(B|C) = P(BnC) / P (C)
Nos piden que el primero sea menor
P(AnC) / P(C) < P(BnC) / P (C)  ==>
P(AnC) < P(BnC)
Pues hagamos el ejemplo del lanzamiento de dos dados
Sean:
A = el evento de que sumen 7
B = el evento de que sumen 2 o 3
C = el evento de sacar 1 en el primer dado
Se cumple la hipótesis P(A) > P(B) puesto que
A = (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) tiene probabilidad P(A) =6/36 = 0,16666
B = (1,1)(1,2)(2,1) tiene probabilidad P(B)=3/36 = 0,08333
Pero AnC = (1,6) con lo que P(A|C) = P(A n C) / P(C) = 1/6
y BnC = (1,1)(1,2) con lo que P(B|C) = P(BnC) / P(C) = 2/6
Y por tanto P(A|B) < P(B|C) que era lo que nos pedían.
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2.108
Si A, B, C son tres eventos use dos aplicaciones del resultado del ejercicio 2.104 para demostrar que
P(AnBnC) >= 1 - P(-A) - P(-B) - P(-C)
Y revisamos lo que decía 2.104
Si Ay B dos eventos entonces
P(AnB) >= 1 - P(-A) - P(-B)
Pues eso lo aplicaremos primero a los eventos A y (BnC) y luego luego a B y C
(1) P(An(BnC)) >= 1 - P(-A) - P(-(BnC))
(2) P(BnC) >= 1 - P(-B) - P (-C)  ==>
Multiplicamos por (-1) y cambia de sentido la desigualdad
- P(BnC) <= -1 + P(-B) + P(-C)
Sumamos 1
1 - P(BnC) <= 1 -1 + P(-B) + P(-C)
Lo del primer miembro es la probabildad del suceso complementario, luego
P(-(BnC)) = P(-B) + P(-C)
y con este valor vamos a la desigualdad que habiamos llamado (1)
P(An(BnC)) >= 1 - P(-A) - [P(-B) + P(-C)]
P(AnBnC) >= 1 -P(-A) - P(-B) - P(-C)
Que es lo que nos pedían
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2.109
A, B y C equiprobables, cual es el mínimo P(A) para que P(AnBnC) sea siempre mayor que 0,95.
Esto está en la teoría del libro:
P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AnB) - P(AnC) - P(BnC) + P(AnBnC)
Por ser P(A)=P(B)=P(C) podemos poner
P(AUBUC) = 3P(A) - P(AnB) - P(AnC) - P(BnC) + P(AnBnC)
Ahora aplicamos el resultado de 2.104 y que P(A)=P(B)=P(C) a las probabilidades de las intersecciones de dos.
P(AnB) >= 1 - 2P(-A)
P(AnC) >= 1 - 2P(-A)
P(BnC) >= 1 - 2P(-A)
les cambiamos el signo (y por tanto el sentido y las sumamos
- P(AnB) - P(AnC) - P(BnC) <= - 3 + 6P(-A) = -3 +6[1 - P(A)] = 3 - 6P(A)
Con esto tenemos
P(AUBUC) <= 3P(A) + 3 - 6P(A) + P(AnBnC) = 3 - 3P(A) + P(AnBnC)
Ahora aplicamos el resultado 2.108
P(AnBnC) >= 1- 3P(-A) = 1 - 3[1 - P(A)] = 1 - 3 + 3P(A) = -2 + 3P(A)
Y lo sustituimos
Pues la sustitución no puede hacerse porque tiene sentido contrario a la cadena que llevamos haciendo.
LO DEJO DE MOMENTO hasta que se me ocurra algo mejor para resolverlo.