Estadística matemática con aplicaciones 5.27

5.27)

La típica función de densidad con dominio no nulo en un triangulo 1x1, en este caso es el que esta por arriba de la diagonal que pasa por el origen, por ser Y2>=Y1

Entonces dado un valor de y1 los valores de y2 son [y1, 1] y

dado un valor de y2 los valores de y1 son [0, y2]

a)

$$\begin{align}&f_1(y_1)=6\int_{y_1}^{1}(1-y_2)dy_2=6\left[ y_2-\frac{y_2^2}{2} \right]_{y_1}^1 =\\ &\\ &\\ &6\left(1-\frac 12-y_1+\frac{y_1^2}{2}\right)= \frac{6(y_1^2-2y_1+1)}{2}=\\ &\\ &3(y_1-1)^2;\;\;\;si\;0\le y_1 \le 1;\;\; 0\;en\;el\; resto\end{align}$$

$$\begin{align}&f_2(y_2)=6\int_0^{y_2}(1-y_2)dy_1=6(1-y_2)\left[y_1  \right]_0^{y_2}=\\ &\\ &6y_2(1-y_2);\;\;\;si\;0\le y_2 \le 1;\;\; 0\;en\;el\; resto\end{align}$$

b)

$$\begin{align}&P(Y_2\le 1/2 |Y_1 \le 3/4)=\frac{P(Y_1\le 3/4,\;Y_2\le 1/2)}{P(Y1\le 3/4)}\\ &\\ &\\ &P(Y_1\le 3/4,\;Y_2\le 1/2) =6\int_0^{1/2}\int_{y_1}^{1/2}(1-y_2)dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &6\int_0^{1/2}\left[ y_2-\frac{y_2^2}{2} \right]_{y_1}^{1/2}dy_1=\\ &\\ &\\ &6\int_0^{1/2}\left(\frac 12-\frac 18-y_1+\frac{y_1^2}{2}  \right)dy_1=\\ &\\ &\\ &6\left[\frac{3y_1}{8} -\frac{y_1^2}{2} +\frac{y_1^3}{6}\right]_0^{1/2}=6\left(\frac{3}{16}-\frac 18 +\frac{1}{48}  \right)=\\ &\\ &6\left(\frac{9-6+1}{48}  \right)=\frac 48 =\frac 12\\ &\\ &\\ &P(Y_1\le 3/4) = \int_0^{3/4}f_1(y_1)dy_1=\\ &\\ &\int_0^{3/4}3(y_1-1)^2dy_1=\left[(y_1-1)^3  \right]_0^{3/4}=\\ &\\ &\\ &-\frac{1}{64}+1 = \frac{63}{64}\\ &\\ &Luego\\ &\\ &P(Y_2\le 1/2 |Y_1 \le 3/4)= \frac 12\div \frac {63}{64}=\frac{64}{2·63}= \frac{32}{63}\end{align}$$

Madre mía que complicado, sobre todo por el asqueroso editor. La parte e, que es lo mismo, la mandas de nuevo si quieres que la haga. Hay ejercicios que se pasan.

c)

$$\begin{align}&f(y_1|y_2)= \frac{f(y_1,y_2)}{f_2(y_2)}=\frac{6(1-y_2)}{6y_2(1-y_2)}= \\ &\\ &\frac{1}{y_2};\;\;si \;0\le y_1 \le y_2 \le 1,\;0\;en\;el\;resto\end{align}$$

d)

$$\begin{align}&f(y_2|y_1)= \frac{f(y_1,y_2)}{f_1(y_1)}=\frac{6(1-y_2)}{3(1-y_1)^2}= \\ &\\ &\frac{6(1-y_2)}{(1-y_1)^2};\;\;si \;0\le y_1 \le y_2 \le 1,\;0\;en\;el\;resto\end{align}$$

e) Lo que te he dicho en el apartado b. Algo que en el papel se puede hacer en dos minutos, aquí se hace mortal por culpa del editor. Te lo dejo como ejercicio o si quieres que lo haga lo mandas en otra pregunta. ¡No sé quién le diría a este señor que era mejor usar y_1, y_2 que x, y! Así se empezó a gestar el fin del mundo.