Teoría de Números - Parte 28

No sé si habrá algún teorema especial. Lo único que se me ocurre es hallar la descomposición en factores primos de 13!

El 2 tiene estos exponentes

2 --> 1

4 --> 2

6 --> 1

8 --> 3

10 --> 1

12 --> 2

sumados dan 10 luego será 2^10

El 3 tiene

3 --> 1

6 --> 1

9 --> 2

12 --> 1

Sumados son 5 luego es 3^5

El 5 tiene

5 -->1

10 -->1

Son 2 que hacen 5^2

Y tienen exponente 1 el 7, 11 y 13

Luego

13! = 2^10 · 3^5 · 5^2 · 7 · 11 · 13

Se comprueba con la calculadora para ver que está bien

13! = 6227020800

2^10 · 3^5 · 5^2 · 7 · 11 · 13 = 6227020800

Está bien

El numero de divisores es el producto de los (exponentes + 1)

Es decir, si los primos son p1, p2,.. pk y sus respectivos exponentes e1, e2, ... ek

n = p1^e1 · p2^e2 ···pk^ek

entonces

Tau(n) = (e1+1)(e2+1)····(ek+1)

Tau(13!) = 11 · 6 · 3 · 2 · 2 · 2 = 1584

y la función Sigma(n) se calcula con la fórmula

Sigma(n) = [p1^(e1+1)-1] /(p1-1) · [p2^(e2+1)-1] /(p2-1) ··· [pk^(ek+1)-1] /(pk-1)

Sigma(13!) = (2^11-1)/(2-1) · (3^6-1)/(3-1) · (5^3-1)/(5-1) · (7^2-1)/(7-1) · (11^2-1)/(11-1) · (13^2-1)/(13-1) =

2047 · 728/2 · 124/4 · 48/6 · 120/10 ·168/12 =

2047 · 364 · 31 · 8· 12 ·14 = 31.044.179.712

Y eso es todo.