Ejercicio 1 ecuaciones diferenciales.
Hola valeroasm! Podrías ayudarme con el ejercicio 1 del siguiente documento, no entiendo nada y lo necesito. Aquí tienes el enlace y por favor explicame con detalle haber si logro entender este tema.
https://drive.google.com/file/d/0B1YOC4LYCZqSQnFfRThyb2VHQlE/edit?usp=sharing
Muchas gracias.
1 Respuesta
(D^4 + 2D^2 + 1)y(x) = senx
Haremos lo mis mo que con el otro. Primero hallaremos la solución general de la homogénea, para ello calculamos las raíces de la ecuación característica
k^4 + 2k^2 + 1 =
(k^2+1)^2 =
[(k+i)(k-i)]^2
Las raíces son dobles y complejas..
Para un par de raíces complejas conjugadas (a+bi) y (a-bi) la solución es
e^(Ax)(C1·cos bx + C2·sen bx)
Considerando el primer par de soluciones conjugadas (i, -i) sería
e^(0x)(C1·cosx + C2·senx)=
C1·cosx + C2·senx
Cuando hay raíces repetidas la segunda solución tiene la misma forma de la primera pero multiplicada por x
En este caso tendremos que la solución general de la homogénea
ygh = C1·cosx + C2·senx + C3·x·cosx + C4·x·senx
Y ahora debemos hallar una solución particular de la completa.
En el caso de que la función sea de la forma
M·Cos(bx) + N sen(bx)
Donde bi es solución de la ecuación cararteristica con multiplicidad n debemos probar con una solución del tipo
ypc = x^n[A·cos(bx) + B·sen(bx)]
luego en nuesto caso hay que probar con
ypc = A·x^2·cosx + B·x^2·senx
Como hay que derivar hasta la cuarta y se va a complicar mucho me voy a arriesgar y tomas solo la parte del seno ya que son derivadas pares y es muy probable que sea suficiente.
ypc = B·x^2·senx
ypc' = 2Bx·senx + Bx^2·cosx
ypc'' = 2B·senx + 2Bx·cosx + 2Bx·cosx - Bx^2·senx = B(2-x^2)senx +4Bx·cosx
ypc''' = -2Bx·senx + B(2-x^2)cosx + 4B·cosx - 4Bx·senx = -6Bx·senx + B(6-x^2)cosx
ypc'''' = -6B·senx -6Bx·cosx -2Bx·cosx - B(6-x^2)senx = B(x^2-12)senx -8Bx·cosx
Y ahora sustituimos estos valores en kla ecuación diferencial
y'''' + 2y'' + y = senx
B(x^2-12)senx -8Bx·cosx + 2B(2-x^2)senx + 8Bx·cosx + Bx^2·senx = senx
B·senx(x^2-12+4-2x^2+x^2) + B·cosx(-8x+8x) = senx
B·senx(-8) = senx
B = -1/8
Luego una solución particular de la completa es
ypc = -(1/8)senx
Y la solución general de la completa es la suma de la general de la hiomogénea con la particular de la completa
y = C1·cosx + C2·senx + C3·x·cosx + C4·x·senx - (1/8)senx
Y eso es todo.
Perdón:
ypc = (1/8)x^2·senx
y la solución general de la completa es
y = C1·cosx + C2·senx + C3·x·cosx + C4·x·senx - (1/8)x^2·senx
