Teoría de Números: Ejercicio 2
Hola Valero!
Ejercicio: ¿Que potencia de 15 divide a 60!? El de 15 elevado a CUÁL potencia es divisible ente 60! (Factorial).
Requisitos: (Criterios)
- Presentación
- Método
- Respuesta que sea lógico lo que escribes
- Que se entienda
- Conclusión
Espero tu ayuda.
1 respuesta
Este problema no hay por donde cogerlo. Fíjate que dice dos cosas contrarias
15^n | 60
60! | 15^n
La primera la cumplen varias potencias de 15
La segunda no se cumple nunca 60! Es par y 15^n no lo es.
Mira a ver si podemos concretar el enunciado
Con respecto a los requisitos te digo lo mismo que antes. No sé a que se refiere exactamente con Presentación y Método, tampoco entiendo lo de "respuesta que sea lógico lo que escribes".
Si me enseñaras algún ejemplo, lo haría así.
Perdón, es esto:
¿Que potencia de 15 divide a 60!?
15^n | 60
"Tienes que encontrar todos los múltiplos de 15 en 60
y el numero de múltiplos es la potencia de 15 que estas buscando"
¿Es verdad?
Entonces es como suponía. La pregunta más correcta podría ser ¿Cuál es la máxima potencia de 15 que divide a 60!
Presentación: Pues eso, calcularemos la máxima potencia de 15 que divide a 60! Como
15 = 3·5
Hallaremos cuántos factores primos 5 y 3 hay en los primeros 60 números. Siempre hay más factores primos de los primos más bajos luego calcularemos los factores primos de 5 que son menos y esos nos dirán cuál es la potencia de 15 en 60!
Método: deducción y recuento
Los factores primos 5 los llevan los números 5,10,15, etc
Pero aparte 25 y 50 llevan dos factores primos 5 ya que
25 = 5^2
50= 2·5^2
Entonces recontamos
5, 10, 15, 20, 25
en ese paquete van 6 factores primos 5 ya que 25 tiene 2
30, 35, 40, 45, 50
van de nuevo 6 factores primos 5
55 y 60
van dos más
Luego en total son 6+6+2 = 14 factores primos 5
Ya decíamos antes que los de 3 son muchos más, luego todo 5 tiene un factor primo 3 para combinarse y podemos decir
60! = 3^14 · 5^14 · n
60! = 15^14 · n
Donde n no es múltiplo de 15 porque no es múltiplo de 5
Luego la máxima potencia de 15 que divide a 60! Es 14
Y eso es todo.
