Sucesión de Cauchy
Sea
$$x_{n} \,\, una\,\, sucesión\,\, en \,\, \mathbb{R} \,\, tal \,\, que \,\, d(x_{n},x_{n+1})\leq d(x_{n-1},x_{n})/2. \,\, Pruébese \, que \, x_{n}\, es \, una \, sucesión \,de \, Cauchy$$
1 Respuesta
Una sucesión Xn es de Cauchy si y solo si para todo epsilon >0 existe un k tal que para todos los numeros naturales m, n mayores que k se verifica
|Xm - Xn|<epsilon
Lo que nos dicen en el enunciado es que
$$|X_{n+1}-X_n|\le \frac{|X_n-X_{n-1}|}{2}$$Sea d la distancia entre X_{n-1} y Xn la siguiente distancia será menos o igual d/2 y la siguiente menor que d/4. La distancia entre Xn y cualquier elemento posterior será menor que la suma de un determinado número de estas distancia decrecientes envirtud de la desigualdad triangular
$$\begin{align}&|X_n-X_m|\le\\ &|X_n-X_{n-1}|+|X_{n-1}-X_{n-2}|+...+|X_{m-1}-X_m|\le\\ &\frac d2+\frac d4+...+\frac {d}{2^{m-n}}\le d\end{align}$$Esto último es porque se trata de una sucesión gemétrica, cuya suma de infinita de términos es
a1/(1-r) = (d/2)/(1-1/2) = (d/2)/(1/2) = d
Luego tenemos que si la distancia X_{n-1} a Xn es d la distancia entre cualesquiera términos posteriores a X_{n-1} será menor o igual d.
Luego dado un epsilon > 0 lo que debemos hallar es un termino n tal que
|Xn - X_{n-1}| < epsilon
Pero eso es fácil porque desde el término primero las distancias se dividen por dos cada término que pasa, sea
C = |X1 -X2|
|X3-X2| <= c/2
|X4-X3| <= c/4
|Xn-X_{n-1}| <= C / 2^(n-2)
hacemos C / 2^(n-2) < epsilon
2^(n-2) > C/epsilon
(n-2) ln(2) > ln(C/epsilon)
n-2 > ln(C/epsilon)/ln(2)
n > [ln(C/epsilon)/ln(2)] + 2
Y ese a partir de ese n las distancias entre cualesquiera términos serán < epsilon
Y eso es todo.
