Calculo Diferencial: Problemas de Optimización
Se va a construir una caja rectangular abierta de base cuadrada y un volumen de 32,000 unidades cúbicas. Encontrar las dimensiones que requieran la menor cantidad de material.
Gracias
1 Respuesta
Las dos unidades que vamos a necesitar son b=lado de la base, h=altura
El volumen será
V = b^2·h = 32
y la superficie de la caja abierta es
A = b^2 + 4bh
Debemos expresar A en función de una sola de las dos variables, pienso que lo mejor sera sustituir h. Luego en la fórmula de volumen despejaremos h
h = 32 / b^2
Y la llevaremos al área
A(b) = b^2 + 4b(32/b^2) = b^2 + 128/b
Derivamos
A'(b) = 2b -128/b^2
2b - 128/b^2 = 0
multiplicamos por b^2
2b^3 -128 = 0
2b^3 = 128
b^3 = 64
b = 4
Y entonces h = 32/4^2 = 32/16 = 2
Luego la caja debe tener 4 unidades de lado de l a base y 2 de altura.
Y eso es todo.
Valeroasm tengo una duda...
Es que al final no es 2,000 (dos mil)?
Es que no se porque pusiste 32 en numerador si es 32,000 (32 mil)... D:
Si, me quedé solo con la primera parte. Es que en España y más países la coma es el separador decimal, vemos horrible que sirva para separar los miles como hacen los anglosajones. Por eso pensé que eran decimales sobrantes. La respuesta no va a ser 2000 sino 20 porque si la unidad lineal se multiplica por 10 la cúbica lo hace por 1000. Lo vuelvo a hacer pero sin usar la coma.
Las dos unidades que vamos a necesitar son b=lado de la base, h=altura
El volumen será
V = b^2·h = 32000
y la superficie de la caja abierta es
A = b^2 + 4bh
Debemos
Expresar A en función de una sola de las dos variables, pienso que lo
mejor sera sustituir h. Luego en la fórmula de volumen despejaremos h
h = 32000 / b^2
Y la llevaremos al área
A(b) = b^2 + 4b(32000/b^2) = b^2 + 128000/b
Derivamos
A'(b) = 2b -128000/b^2
2b - 128000/b^2 = 0
multiplicamos por b^2
2b^3 -128000 = 0
2b^3 = 128000
b^3 = 64000
b = 40
Y entonces h = 32000/40^2 = 32000/1600 = 20
Luego la caja debe tener 40 unidades de lado de l a base y 20 de altura.
Y eso es todo.
