Análisis matemático... Libro lima 8

La definición de la función producto

(f·g)(x) = f(x)·g(x)

Sean C1 y C2 cotas superiores de f y g. Llamemos C3= C2·C1

Asimismo 0 será cota inferior de ambas por ser funciones en R+. Y la función producto será siempre el cociente de cantidades positivas y positiva por lo tanto

(f·g)(x) = f(x)·g(x) <= C1·C2 = C3

Luego f·g está acotada superiormente por C3.

E inferiormente esta acotada por el 0.

Como el supremo de f es una cota superior de f y el de g es una cota superior de g, podemos aplicar lo que hemos hecho y tendremos que Sup(f)·Sup(g) es una cota superior de f·g. Como el supremo es la menor de las cotas superiores tendremos

Sup(f·g) <= Sup(f)·Sup(g)

No lo hemos hecho antes, pero suponiendo C1>=0 cota inferior de f y C2>=0 cota inferior de g, y siendo C3=C1·C2 tendremos

(f·g)(x) = f(x)·g(x) >= C1·C2 = C3

Luego f·g esta acotada inferiormente por C1·C2. Y si hacemos C1=Inf(f) y C2=Inf(g) tendremos que el producto de los ínfimos es una cota inferior de f·g. Como el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores se cumplirá

Inf(f·g) >= Inf(f)·Inf(g)

Sean las funciones senx y cosx en el intervalo [Pi/6, Pi/3] que para entendernos son 30º y 60º

Ambas tienen como supremo sqrt(3) / 2 y como ínfimo 1/2

Veamos cual es el mínimo y máximo del producto

(f·g)(x) = senx·cosx = sen(2x) / 2

(f·g)'(x) = cos(2x) = 0

cos(2x) = 0

2x=Pi/2

x= Pi/4

(f·g)''(x) = -2senx

(f·g)''(Pi/4) = -sqrt(2) como es negativa es máximo relativo

Sup(f·g) = sen(2Pi/4)/2 = sen(Pi/2)/ 2 = 1/2 = 0.5

Y el ínfimo estará en uno de los extremos que casualmente tienen el mismo valor

inf(f·g) = (1/2)[sqrt(3)/2] = sqrt(3) / 4 aproximadamente 0.433

Y ahora veamos cuánto valían el producto de los supremos o ínfimos de f y g

Sup(f)Sup(g) = [sqrt(3)/2][sqrt(3)/2 = 3/4 = 0.75

y en efecto, tenemos

0.5 < 0.75

Inf(f)·Inf(g) = (1/2)(1/2) = 1/4 = 0.25

y tenemos

0.433 > 0.25

Y eso es todo.