Calculo. Ejercicio de Calculo

Se aproximará más cuando su distancia sea la mínima posible. Pero cuidado, eso es un polinomio de grado 3 que siempre tendrá una solución real al menos. Para que refleje la distancia (que es siempre positiva o cero) debe ser un polinomio positivo o cero para todo t positivo.

Todo eso se tendrá que confirmar con los cálculos que hagamos, porque si no, estaría mal el enunciado.

Pues derivaremos el polinomio y lo igualaremos a cero para hallar los máximos y mínimos

X' = 3t^2 - 18 t + 24 = 0

Calculamos las raíces

$$\begin{align}&t = \frac{18\pm \sqrt{18^2-4·3·24}}{6}=\\ &\\ &\\ &\frac{18+-\sqrt{36}}{6}= 4\; y \;2\end{align}$$

para saber cuál es el máximo y el mínimo hay muchas formas, lo haré por la derivada segunda

X'' = 6t -18

X''(4) = 24 - 18 = 6, positivo luego es un mínimo

X''(2) = 12 - 18 = -6, negativo luego es máximo

Luego la distancia mínima relativa se da en t=4

Vamos a comprobar lo que decíamos, Los mínimos absolutos en [0, +infinito) serán los mínimos realativos o estarán en los extremos. En infinito el polinomio tiende a infinito, luego no puede ser mínimo absoluto

El valor en 0 es

X(0) = t³ - 9t² + 24t + 100 = 100

y en el mínimo relativo t=4 es

X(4) = 64 - 144 + 96 + 100 = 116

En el extremo se da la distancia menor, luego crece hasta t=2, después baja hasta t=4 y por fín sube hasta el infinito

Luego la distancia mínima se da en t=0 y es 100

Y eso es todo.