Estadística matemática con aplicaciones 5.138

EsteHola Carito1557!

5.138)

Sea Y1 la variable de Poisson. La función de distribución es:

$$P(Y_1=k)=\frac{e^{-\lambda}·\lambda^k}{k!}$$

Y la función de densidad de lambda será

$$\frac{y_2^{\alpha-1}e^{-y_2/\beta}}{\beta^{\alpha}(\alpha-1)!}\;\;\;si\; 0\le y_2 \lt +\infty;\;\;0 \;si \;no$$

Usaremos el teorema 5.14 que dice

E(Y1) = E[E(Y1|Y2)] = E [E(Y1|lambda)] =

La esperanza de una variable de Poisson de parámetro lambda es precisamente lambda

= E (lambda) =

Como dice el teorema, esta esperanza exterior debe considerarse con respecto a la variable Y2 que es lambda

=

$$\begin{align}&\int_0^{+\infty}\lambda \frac{\lambda^{\alpha-1}e^{-\lambda/\beta}}{\beta^{\alpha}(\alpha-1)!}d\lambda =\\ &\\ &\\ &\int_0^{+\infty}\frac{\lambda^{\alpha}e^{-\lambda/\beta}}{\beta^{\alpha}(\alpha-1)!}d\lambda =\\ &\\ &\\ &u=\frac{\lambda^{\alpha}}{\beta^{\alpha}(\alpha-1)!}\implies du = \frac{\alpha·\lambda^{\alpha-1}}{\beta^{\alpha}(\alpha-1)!}d\lambda\\ &\\ &dv = e^{-\lambda/\beta}d\lambda \implies v =-\beta e^{-\lambda/\beta}\\ &\\ &=\left[ \frac{\lambda^{\alpha}  (-\beta e^{-\lambda/\beta})}{\beta^{\alpha}(\alpha-1)!} \right]_0^{+\infty}+\alpha \beta \int_0^{+\infty}\frac{\lambda^{\alpha-1}e^{-\lambda/\beta}}{\beta^{\alpha}(\alpha-1)!}d\lambda=\\ &\\ &\text {El integrando es la función de densidad de una }\Gamma(\alpha, \beta)\\ &\text{luego la integral vale 1}\\ &\\ &= 0-0 + \alpha \beta= \alpha \beta\\ &\\ &\text {Luego en conclusión:}\\ &\\ &E(Y_1)=\alpha \beta\end{align}$$

Este problema si que es completamente nuevo para mí, me gustaría comprobar la solución para ver si lo hice bien pero las pares no tienen las soluciones.