Teorema de Heine-Borel
Aplicando el Lema "Si f:R---R es una función continua en un punto k, existe un epsilon tal que la función f es acotada en el intervalo (k - epsilon,k + epsilon)" y el Teorema de Heine-Borel, para demostrar el siguiente Teorema: "Si f es una función continua en [a,b], entonces, f es acotada en [a,b]"
Teorema de Heine-Borel: "Sean [a,b] un intervalo de números reales y F una colección de intervalos abiertos, tales que [a,b] incluido_unión F. Entonces, existe una subcolección finita {I(1),I(2),...,I(n)} de intervalos de F tales que [a,b] incluido_ UNION desde j=1 hasta n I(j).
Con este EDITOR no puedo ser más especifico, por favor necesito la respuesta de urgencia.
1 respuesta
Por lo que veo hay varias versiones del teorema de Heine-Borel, has hecho bien en escribir la que hay que utilizar.
Tomamos la colección de intervalos formada por
{(k-epsilon(k) , k+epsilon(k) | para todo k € [a,b] y tal que f es acotada en ese intervalo}
Cada uno tendrá un radio epsilon distinto y cada uno tendrá su cota M(k). Y como cada uno de ellos contiene al menos al punto k, la unión de ellos contiene al intervalo [a, b]
Por el teorema de Heine-Borel que escribes habrá, una subcolección finita de ellos que siga cubriendo al intervalo [a, b]
Entonces el máximo de las cotas de este conjunto finito de intervalos será una de las cotas y existirá y servirá de cota para cualquier valor de la función en [a, b]
Y eso es todo.
