Si B = {u1,u2,u3,u4} es un base de un cierto espacio vectorial real V, entonces
Hola!!!
si B = {u1, u2,u3,u4} es una base de un cierto espacio vectorial real V, entonces {u1,u1+u2,u2+u3,u3+u4} es también base de V.
me explicas con un ejemplo es F o V. Saludos
1 Respuesta
Antes de contestar voy a corregir un fallo que tuve en una pregunta anterior, quería decir una cosa pero pues otra:
Es falso. Cuando nos dicen que un vector es combinación lineal de otros únicamente nos obligan a que todos los escalares sean distintos de cero.
Y lo que tenía que poner era
Es falso. Cuando nos dicen que un vector es combinación lineal de otros únicamente nos obligan a que alguno de escalares sea distinto cero.
Luego en el resto de la pregunta hice uso de esto segundo, luego la respuesta estaba bien dada.
La pregunta ya la contestaré más tarde, ahora tengo otras que contestar antes y además tendré que dejar el ordenador alguna hora. Además no tengo respuesta inmediata para la pregunta lo tengo que estudiar.
Hola !
En que pregunta decime porque estoy estudiando y no me quiero confundir. Saludos!!
Era la pregunta: Si el vector u es combinación lineal de de los vectores v y w ...
Sabemos que {u1, u2, u3, u4} es una base. Si con los vectores que nos dicen somos capaces de conseguir los vectores de esa base, entonces podremos conseguir generar cualquier vector que generábamos con esa base, luego el conjunto será un sistema generador. Y como tiene el mismo número de vectores que una base será una base ya que todas las base tienen el mismo número de vectores.
Y comprobar lo que digo es sencillo.
Los vectores que tenemos son {u1,u1+u2,u2+u3,u3+u4}
El vector u1 de la base ya lo tenemos
El vector u2 lo podemos obtener restando el primero al segundo, es decir como la combinación lineal
1(u1+u2) + (-1)(u1) = (u1+u2)+(-u1) = u1+[u2+(-u1)] = u1+[(-u1)+u2] =
[u1+(-u1)] + u2 = 0 + u2 = u2
Lo hice paso a paso, en las siguientes lo haré directamente.
En resumen u2 es combinación lineal de los vectores que nos dan
El vector u3 lo podemos obtener como el tercero menos el segundo mas el primero
(u2+u3) - (u1+u2) + u1 = u2 + u3 - u1 - u2 + u1 = u3
Y el vector u4 se obtiene como el cuarto menos el tercero mas el segundo menos el primero
(u3+u4) - (u2+u3) + (u1+u2) - u1 =
u3 + u4 - u2 - u3 + u1 + u2 - u1 = u4
Luego los cuatro vectores de la base se pueden obtener y una vez obtenidos ellos se puede obtener cualquiera. Y por lo que decíamos antes sobre el número de vectores tenemos que el conjunto que nos dan es una base.
Y eso es todo.
