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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¿Existe un entero positivo n tal que 7n^3 -1 es un cuadrado perfecto?
Veamos como son los cuadrados módulo 7
0^2 ~: 0 (mod 7)
1^2 ~: 1 (mod 7)
2^2 ~: 4 (mod 7)
3^3 ~: 2 (mod 7)
4^2 ~: 2 (mod 7)
5^2 ~: 4 (mod 7)
6^2 ~: 1 (mod 7)
Los números mayores tienen esas mismas congruencias ya que si n>6
n = 7m+r con 0<=r<=6
n ~: r (mod 7)
n^2 ~: r^2
Luego los cuadrados tienen congruencias 0,1,2 o 4 (mod 7)
El número 7n^3 -1 tiene esta congruencia módulo 7
7n^3 -1 :~ -1 :~ 6 (mod 7)
Pero ningún cuadrado tiene esa congruencia, luego 7n^3-1 no puede ser un cuadrado perfecto.
Y eso es todo.
