Cálculo Diferencial: Optimización

Pondremos la circunferencia centrada en el punto (0,0). Y el rectángulo lo pondremos con la base paralela al eje X. Los cuatro puntos de contacto serán simétricos respecto al eje X y el eje Y. Si en el primer cuadrante el punto de contacto es (a, b) los otros son (-a, b), (a,-b) y (-a,-b)

El punto (a, b) pertenecerá a la circunferencia, por ello debe satisfacer la ecuación de la circunferencia de radio 5 que es

x^2 + y^2 = 5^2

a^2+b^2 = 25

b^2 = sqrt(25 - a^2)

Y con esto podemos hallar las dimensiones del rectángulo

Base = 2a

Altura = 2·sqrt(25-a^2)

Área(a) = 4a·sqrt(25-a^2)

Y para calcular el mínimo se deriva respecto a a y se iguala a cero.

$$\begin{align}&Area´(a)=4\left(\sqrt{25-a^2}+a \frac{-2a}{2 \sqrt{25-a^2}}\right)=0\\ &\\ &\sqrt{25-a^2}-\frac{a^2}{\sqrt{25-a^2}}=0\\ &\\ &\frac{25-a^2-a^2}{\sqrt{25-a^2}}=0\\ &\\ &25-2a^2=0\\ &\\ &2a^2 = 25\\ &\\ &a^2 = 25/2\\ &\\ &a = \frac{5}{\sqrt 2}\\ &\\ &\\ &\\ &b = \sqrt{25-a^2}=\sqrt{25-\frac{25}{2}}=\\ &\\ &\sqrt{\frac{25}{2}}= \frac{5}{\sqrt 2} \end{align}$$

Luego a y b valen lo mismo 5/sqrt(2) y los lados miden lo mismo, la figura es un cuadrado cuyo lado mide 2a

l = 2·5/sqrt(2) = 10 / sqrt(2)

Espera que en el colegio me castigaron con miles de ejercicios de racionalizar denominadores, vamos a hacerlo también aquí

l = 10sqrt(2) / [sqrt(2)·sqrt(2)] = 10 sqrt(2) / 2 = 5sqrt(2)

Ese es el lado del cuadrado.

Y eso es todo.